Aufgaben mit zwei Unbekannten

Gleichungen aus dem Text aufstellen

Was ist bekannt? Die Summe der Anzahl der Zweibettzimmer $x$ und der Anzahl der Dreibettzimmer $y$ beträgt 40. Diese Aussage liefert dir Gleichung $\mathrm{I}$:

In einem Zweibettzimmer stehen zwei Betten. In $x$ Zweibettzimmern stehen somit $2\cdot x$ Betten und entsprechend stehen in den Dreibettzimmern $3\cdot x$ Betten. Insgesamt hat das Hotel 105 Betten, so dass du Gleichung $\mathrm{II}$ aufstellen kannst:

Du hast nun folgendes lineare Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten:

Gleichungssystem lösen

Zur Lösung dieses Gleichungssystems stehen dir drei Lösungsverfahren zur Verfügung:

• Einsetzungsverfahren

• Gleichsetzungsverfahren

• Additionsverfahren

Lösung mit dem Einsetzungsverfahren

Löse Gleichung $\mathrm{I}$ nach einer der beiden Variablen auf und setze diese Variable in Gleichung $\mathrm{II}$ ein. Es spielt keine Rolle, ob du $\mathrm{I}$ nach $x$ oder $y$ auflöst.

${\mathrm{I}}^{\prime }y=40-x$. Eingesetzt in $\mathrm{II}:$

Setze $x=15$ in Gleichung ${\mathrm{I}}^{\prime }$ ein: $y=40-15=25$

Die Lösungsmenge deines Gleichungssystems lautet also : $𝕃=\{(15|25)\}$

Antwort: Das Hotel verfügt über $15$ Zweibettzimmer und über $25$ Dreibettzimmer.

Lösung mit dem Gleichsetzungsverfahren

Löse beide Gleichungen nach derselben Variablen auf. Du hast beim Einsetzungsverfahren schon Gleichung $\mathrm{I}$ nach $y$ aufgelöst.

${\mathrm{I}}^{\prime }y=40-x$. Nun muss Gleichung $\mathrm{II}$ auch nach $y$ aufgelöst werden:

Setze nun die beiden rechten Seiten der Gleichungen ${\mathrm{I}}^{\prime }$ und $\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }$ gleich:

Setze $x=15$ in Gleichung ${\mathrm{I}}^{\prime }$ ein: $y=40-15=25$

Die Lösungsmenge deines Gleichungssystems lautet also : $𝕃=\{(15|25)\}$

Antwort: Das Hotel verfügt über $15$ Zweibettzimmer und über $25$ Dreibettzimmer.

Lösung mit dem Additionsverfahren

Ziel ist es, dass sich durch Addition der beiden Gleichungen eine der unbekannten Größen aufhebt. In diesem Gleichungssystem kannst du z.B. die Gleichung $\mathrm{I}$ mit $(-2)$ multiplizieren $\Rightarrow {\mathrm{I}}^{\prime }$. Durch Addition der beiden Gleichungen ${\mathrm{I}}^{\prime }$ und $\mathrm{II}$ erhältst du schon die Lösung für $y$:

Setze $y=25$ in Gleichung $\mathrm{I}$ ein: $x+25=40\Rightarrow x=15$

Die Lösungsmenge deines Gleichungssystems lautet also : $𝕃=\{(15|25)\}$

Antwort: Das Hotel verfügt über $15$ Zweibettzimmer und über $25$ Dreibettzimmer.