Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 1

Man hat $|\mathrm{\Omega }|=6250$ Haushalte.

$|A|=2250$ Haushalte mit schnellem Internetanschluss.

Davon haben $\frac{2}{3}$ein Abonnement eines Streamingdienstes.

$|B|=2250\cdot \frac{2}{3}=1500$

46% aller Haushalte haben weder Internetanschluss noch Abonnement.

Also $$|\overline{A}{\displaystyle \cap \overline{B}|=6250\cdot \mathrm{0,46}=2875}$$

Vierfeldertafel.

In eine Tabelle mit 4 Zeilen und 4 Spalten schreibt man in die erste Spalte der 2 und 3 Zeile die Ereignisse $B$ und $\overline{B}$. In die erste Zeile und Spalten 2 und 3 die Ereignisse $A$ und $\overline{A}$.

In die zweite Zeile in Spalten 2 und 3 die Anzahl für $$A{\displaystyle \cap B|\overline{A}{\displaystyle \cap B}}$$

In die dritte Zeile in Spalten 2 und 3 die Anzahl für $$\overline{B}{\displaystyle \cap A|\overline{B}{\displaystyle \cap \overline{A}}}$$

Es gilt: $$|A{\displaystyle \cap B|=1500.}$$ Und da $$|A|=2250\Rightarrow |\overline{B}{\displaystyle \cap A|=750}$$.

Und $$|\overline{A}{\displaystyle \cap \overline{B}|=2875}$$ in die 3. Zeile und 3. Spalte

Damit ergibt sich die gesamte Vierfeldertafel.

$\begin{array}{cccc}& \mathrm{A}& \overline{\mathrm{A}}& \\ \mathrm{B}& \mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})& \mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}}\cap \mathrm{B})& \mathrm{P}(\mathrm{B})\\ \overline{\mathrm{B}}& \mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \overline{\mathrm{B}})& \mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}}\cap \overline{\mathrm{B}})& \mathrm{P}(\overline{\mathrm{B}})\\ & \mathrm{P}(\mathrm{A})& \mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}})& 1\end{array}$

$\begin{array}{cccc}& \mathrm{A}& \overline{\mathrm{A}}& \\ \mathrm{B}& 1500& 1125& 2625\\ \overline{\mathrm{B}}& 750& 2875& 3625\\ & 2250& 4000& 6250\end{array}$

Die Ereignisse $A$ und $B$ sind stochastisch unabhängig, wenn gilt:

$$P(A{\displaystyle \cap B)=P(A)\cdot P(B)⟺\frac{1500}{6250}=\frac{2250}{6250}\cdot \frac{2625}{6250}}$$

$⟺\mathrm{0,24}=0.36\cdot \mathrm{0,42}⟺\mathrm{0,24}=\mathrm{0,1512}$ falsch.

Also sind die Ereignisse $A$ und $B$ nicht stochastisch unabhängig.