Pflichtteil

Metrische Geometrie

Gegeben sind die beiden Ebenen $E$ und $F$ mit
$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 2 \end{array})$ ; $s, t \in ℝ$ und
$F : x_{1} – x_{2} + x_{3} - 1 = 0.$
a) Weisen Sie nach, dass $E$ und $F$ parallel zueinander liegen.
b) Bestimmen Sie den Abstand von $E$ und $F$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hessesche Normalenform
Lösung zu a)
Die Ebenen sind parallel zueinander, wenn die Normalenvektoren parallel zueinander sind.
$\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{array}{c} a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} \\ a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} \\ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \end{array}) \Rightarrow {\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$
Aus der Koordinatenform von der Ebene $F$ liest du den Normalenvektor ab:
${\vec{n}}_{F} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) \Rightarrow {\vec{n}}_{E} = {\vec{n}}_{F}$
Die Ebenen sind parallel zueinander.
Lösung zu b)
Erstelle die Hessesche Normalenform der Ebene $F$ :
$F_{H N F} : \frac{a x_{1} + b x_{2} + c x_{3} - d}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = 0 \Rightarrow \frac{x_{1} - x_{2} + x_{3} - 1}{\sqrt{3}} = 0$
Setze den Aufpunkt $A (1 | 2 | 3)$ der Ebene $E$ in die Hessesche Normalenform ein, um den Abstand der beiden Ebenen zu berechnen.
$d (A, F) = | \frac{1 \cdot 1 - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 - 1}{\sqrt{1^{2} + (- 1)^{2} + 1^{2}}} | = | \frac{1}{\sqrt{3}} | = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3}$
Antwort: Die beiden Ebenen haben einen Abstand von $\frac{1}{3} \cdot \sqrt{3}$ voneinander.
Gegeben sind die Punkte $A (3 | 0 | 1),$ $B (6 | 2 | 2)$ und $C (0 | 3 | 5) .$ Die Ebene $E$ enthält die Punkte $A, B$ und $C .$
a) Bestimmen Sie die Gleichung von $E$ in Normalenform und Koordinatenform.
b) Untersuchen Sie die Lage der Ebene $E$ zur Geraden $g$ mit
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebenen
Lösung zu a)
Für die Ebene in Parameterform gilt:
$E_{A B C} = \vec{O A} + r \cdot (\vec{O B} - \vec{O A}) + s \cdot (\vec{O C} - \vec{O A})$
$E_{A B C} = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + r \cdot ((\begin{array}{c} 6 \\ 2 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 1 \end{array})) + s \cdot ((\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 1 \end{array}))$
$E_{A B C} = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 3 \\ 4 \end{array})$
Bei der Umrechnung der Ebenengleichung in die Normalenform muss das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene berechnet werden.
${\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 3 \\ 3 \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 \\ - 15 \\ 15 \end{array})$
Der Normalenvektor kann noch vereinfacht werden: ${\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 3 \end{array})$
Mit dem Punkt $A (3 | 0 | 1)$ erhältst du dann die Normalenform der Ebene:
$E : (\vec{x} - \vec{O A}) \circ {\vec{n}}_{E} = 0 \Rightarrow (\vec{x} - (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 1 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 3 \end{array}) = 0$
Wird das Skalarprodukt ausmultipliziert, erhältst du die Koordinatenform der Ebenengleichung:
$E : x_{1} - 3 x_{2} + 3 x_{3} - (3 + 0 + 3) = 0 \Rightarrow x_{1} - 3 x_{2} + 3 x_{3} - 6 = 0$
Antwort: Die Ebene in Normalenform hat die Gleichung $E : (\vec{x} - (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 1 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 3 \end{array}) = 0$ und in Koordinatenform lautet sie:
$E : x_{1} - 3 x_{2} + 3 x_{3} = 6$
Lösung zu b)
Lageuntersuchung: $g \cap E$
Setze $g$ in $E$ ein:
$(4 + 2 t) - 3 (t) + 3 (1)$ $=$ $6$
↓
Löse die Klammern auf.
$4 + 2 t - 3 t + 3$ $=$ $6$
↓
Löse nach $t$ auf.
$7 - t$ $=$ $6$ $- 7$
$- t$ $=$ $- 1$ $\cdot (- 1)$
$t$ $=$ $1$
Du hast für $t$ eine Lösung erhalten, d.h. die Gerade und die Ebene schneiden sich.
Berechnung des Schnittpunktes der Geraden mit der Ebene
Setze $t = 1$ in die Geradengleichung ein: ${\vec{x}}_{S} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + 1 \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 \\ 1 \\ 1 \end{array})$
Antwort: Die Gerade $g$ schneidet die Ebene $E$ im Punkt $S (6 | 1 | 1)$ .
Gegeben ist die Gerade $g$ mit $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ 7 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array})$ ; $t \in ℝ$ und $h$ mit
$h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 7 \\ 3 \\ 5 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array})$ ; $s \in ℝ$
a) Zeigen Sie, dass die Geraden $g$ und $h$ orthogonal zueinander liegen.
b) Untersuchen Sie, ob sich $g$ und $h$ auch schneiden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geraden
Lösung zu a)
Wenn die Geraden $g$ und $h$ orthogonal zueinander liegen sollen, dann muss das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren gleich null sein.
${\vec{u}}_{g} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array})$ und ${\vec{u}}_{h} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array})$ $\Rightarrow {\vec{u}}_{g} \circ {\vec{u}}_{h} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) = 2 + 2 - 4 = 0$
Antwort: Die Geraden $g$ und $h$ liegen orthogonal zueinander.
Lösung zu b)
Lageuntersuchung:
Setze $g = h$ :
$(\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ 7 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 7 \\ 3 \\ 5 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array})$
Umgeformt erhältst du: $(\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ 7 \end{array}) - (\begin{array}{c} 7 \\ 3 \\ 5 \end{array}) = s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) - t \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array})$ bzw.
$(\begin{array}{c} - 4 \\ - 5 \\ 2 \end{array}) = s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) - t \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array})$
Damit ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{rccccccc} I & s & - & 2 t & = & - 4 \\ II & 2 s & - & t & = & - 5 \\ III & s & + & 4 t & = & 2 \end{array} $
Mit dem Additionsverfahren wird aus den Gleichungen $(I)$ und $(I I)$ der Parameter $s$ eliminiert.
Rechne dazu: $II + (- 2) \cdot I$ $\Rightarrow 3 t = 3 \Rightarrow t = 1$
Setze $t = 1$ in Gleichung $(I)$ ein $\Rightarrow s - 2 \cdot 1 = - 4 \Rightarrow s = - 2$
Probe in Gleichung $(I I I)$ : $s + 4 t = 2 \Rightarrow - 2 + 4 \cdot 1 = 2 ✓$
Zur Berechnung des Schnittpunktes setze $t = 1$ in die Geradengleichung $g$ ein:
${\vec{x}}_{S} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ 7 \end{array}) + 1 \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$
Antwort: Die Geraden $g$ und $h$ schneiden sich im Punkt $S (5 | - 1 | 3)$ .
Gegeben sind die Punkte $A (12 | 0 | 0)$ , $B (4 | 10 | 5)$ und $C (2 | 8 | 4) .$
a) Zeigen Sie, dass das Dreieck $A B C$ rechtwinklig ist.
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $A B C$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechtwinkliges Dreieck
Lösung zu a)
Berechne die Vektoren der drei Dreiecksseiten:
$\vec{A B} = (\begin{array}{c} 4 \\ 10 \\ 5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 12 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 8 \\ 10 \\ 5 \end{array})$
$\vec{B C} = (\begin{array}{c} 2 \\ 8 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 10 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{array})$
$\vec{C A} = (\begin{array}{c} 12 \\ 0 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 8 \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 10 \\ - 8 \\ - 4 \end{array})$
Betrachtest du die Längen der drei Vektoren, dann ist der Betrag des Vektors $\vec{A B}$ am größten. Der rechte Winkel muss also der Seite $AB$ gegenüber beim Punkt $C$ liegen, d.h. dann muss das Skalarprodukt $\vec{B C} \circ \vec{C A} = 0$ sein.
Berechne das Skalarprodukt: $\vec{B C} \circ \vec{C A} = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 10 \\ - 8 \\ - 4 \end{array}) = - 20 + 16 + 4 = 0 ✓$
Antwort: Das Dreieck hat im Punkt $C$ einen rechten Winkel.
Lösung zu b)
Bei einem rechtwinkligen Dreieck kann die Dreiecksfläche folgendermaßen berechnet werden:
$A = \frac{1}{2} \cdot | \vec{B C} | \cdot | \vec{C A} |$
$= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(- 2)^{2} + (- 2)^{2} + (- 1)^{2}} \cdot \sqrt{10^{2} + (- 8)^{2} + (- 4)^{2}}$
$= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{180}$
$= \frac{3}{2} \cdot \sqrt{180}$
$= \frac{3}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{5}$
$= 9 \cdot \sqrt{5}$
Antwort: Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von $9 \cdot \sqrt{5} FE$ .
Gegeben sind die Punkte $A (1 | 3 | 0), B (3 | 7 | - 4)$ und $C (2 | 8 | 1)$ .
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $A B C$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt Dreieck
Flächenberechnung Möglichkeit 1
Für ein beliebiges Dreieck gilt die folgende Flächenformel:
$A_{△} = \frac{1}{2} \cdot | \vec{a} \times \vec{b} |$
$\vec{a} = \vec{A B} = (\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ - 4 \end{array})$
$\vec{b} = \vec{A C} = (\begin{array}{c} 2 \\ 8 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 1 \end{array})$
Eingesetzt in die Flächenformel:
$A_{△} = \frac{1}{2} \cdot | (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ - 4 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 1 \end{array}) | = \frac{1}{2} \cdot | (\begin{array}{c} 24 \\ - 6 \\ 6 \end{array}) |$
$A_{△} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{24^{2} + (- 6)^{2} + 6^{2}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{648} = 9 \cdot \sqrt{2}$
Antwort: Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von $9 \cdot \sqrt{2} FE$ .
Flächenberechnung Möglichkeit 2
Für ein beliebiges Dreieck gilt die folgende Flächenformel:
$A_{△} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{{\vec{a}}^{2} \cdot {\vec{b}}^{2} - (\vec{a} \circ \vec{b})^{2}}$
$\vec{a} = \vec{A B} = (\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ - 4 \end{array})$
$\vec{b} = \vec{A C} = (\begin{array}{c} 2 \\ 8 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 1 \end{array})$
Eingesetzt in die Flächenformel:
$A_{△} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{{(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ - 4 \end{array})}^{2} \cdot {(\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 1 \end{array})}^{2} - {((\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ - 4 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 1 \end{array}))}^{2}}$
$A_{△} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(4 + 16 + 16) \cdot (1 + 25 + 1) - (2 + 20 - 4)^{2}}$
$A_{△} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{36 \cdot 27 - 18^{2}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{648} = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot \sqrt{2} = 9 \cdot \sqrt{2}$
Antwort: Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von $9 \cdot \sqrt{2} FE$ .
Flächenberechnung Möglichkeit 3
$A_{△} = \frac{1}{2} \cdot | \vec{A B} | \cdot h_{C}$
Dabei ist $h_{C}$ der Abstand des Punktes $C$ von der Geraden durch die Punkte $A$ und $B$ . Diesen Abstand kannst du mit dem Lotfußpunktverfahren berechnen.
Erstelle eine Hilfsebene $H$ durch $C (2 | 8 | 1)$ mit dem Normalenvektor ${\vec{n}}_{H} = \vec{A B} = (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ - 4 \end{array})$ .
$H : (\vec{x} - (\begin{array}{c} 2 \\ 8 \\ 1 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ - 4 \end{array}) = 0$ bzw.
$H : 2 x_{1} + 4 x_{2} - 4 x_{3} - (4 + 32 - 4) = 0$
$\Rightarrow H : 2 x_{1} + 4 x_{2} - 4 x_{3} - 32 = 0$
Die Gerade durch die Punkte $A$ und $B$ hat die Gleichung
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ - 4 \end{array})$
Schneide die Gerade $g$ mit der Hilfsebene $H : 2 x_{1} + 4 x_{2} - 4 x_{3} - 32 = 0$
$2 \cdot (1 + 2 r) + 4 \cdot (3 + 4 r) - 4 \cdot (- 4 r) - 32 = 0$
$2 + 4 r + 12 + 16 r + 16 r - 32 = 0 \Rightarrow 36 r - 18 = 0 \Rightarrow r = \frac{1}{2}$
Setze $r = \frac{1}{2}$ in $g$ ein:
${\vec{x}}_{F} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 0 \end{array}) + \frac{1}{2} \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ - 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ - 2 \end{array})$
Der Lotfußpunkt hat die Koordinaten $F (2 | 5 | - 2)$ .
$\vec{F C} = (\begin{array}{c} 2 \\ 8 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 3 \end{array})$
$h_{C} = | \vec{F C} | = \sqrt{0^{2} + 3^{2} + 3^{2}} = \sqrt{18} = 3 \cdot \sqrt{2}$
$| \vec{A B} | = | (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ - 4 \end{array}) | = \sqrt{2^{2} + 4^{2} + (- 4)^{2}} = \sqrt{36} = 6$
Eingesetzt in die Flächenformel:
$A_{△} = \frac{1}{2} \cdot | \vec{A B} | \cdot h_{C} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} = 9 \cdot \sqrt{2}$
Antwort: Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von $9 \cdot \sqrt{2} FE$ .
Gegeben sind die Punkte $A (- 7 | 0 | 1), B (- 5 | 3 | 1)$ und $C (- 4 | 0 | - 1)$ .
a) Zeigen Sie, dass das Dreieck $A B C$ gleichschenklig ist.
b) Das Dreieck $A B C$ lässt sich so durch einen Punkt $P$ ergänzen, dass eine Raute entsteht. Bestimmen Sie die Koordinaten von $P$ .
c) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $A B C$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenkliges Dreieck
Lösung zu a)
Berechne die Beträge der Vektoren $\vec{A B}$ , $\vec{B C}$ und $\vec{A C}$
$\vec{A B} = (\begin{array}{c} - 5 \\ 3 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 7 \\ 0 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array})$
$\Rightarrow | \vec{A B} | = | (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array}) | = \sqrt{2^{2} + 3^{2} + 0^{2}} = \sqrt{13}$
$\vec{B C} = (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 5 \\ 3 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ - 2 \end{array})$
$\Rightarrow | \vec{B C} | = | (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ - 2 \end{array}) | = \sqrt{1^{2} + (- 3)^{2} + (- 2)^{2}} = \sqrt{14}$
$\vec{A C} = (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 7 \\ 0 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 2 \end{array})$
$\Rightarrow | \vec{A C} | = | (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) | = \sqrt{3^{2} + 0^{2} + (- 2)^{2}} = \sqrt{13}$
$| \vec{A B} | = | \vec{A C} | \neq | \vec{B C} |$ , d.h. das Dreieck ist gleichschenklig, mit der Basis $[B C]$ .
Lösung zu b)
$[B C]$ ist die Basis des gleichschenkligen Dreiecks, d.h. der Punkt $P$ muss $A$ gegenüberliegen; siehe Skizze.
Du kannst die folgende Vektorgleichung aufstellen, um $P$ zu berechnen.
$\vec{O P} = \vec{O C} + \vec{A B} = (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ - 1 \end{array})$
Der Punkt $P$ hat die Koordinaten $P (- 2 | 3 | - 1)$ .
Lösung zu c)
Flächenberechnung Möglichkeit 1
Für ein beliebiges Dreieck gilt die folgende Flächenformel:
$A_{△} = \frac{1}{2} \cdot | \vec{a} \times \vec{b} |$
$\vec{a} = \vec{A B} = (\begin{array}{c} - 5 \\ 3 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 7 \\ 0 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array})$
$\vec{b} = \vec{A C} = (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 7 \\ 0 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 2 \end{array})$
Eingesetzt in die Flächenformel:
$A_{△} = \frac{1}{2} \cdot | (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) | = \frac{1}{2} \cdot | (\begin{array}{c} - 6 \\ 4 \\ - 9 \end{array}) |$
$A_{△} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(- 6)^{2} + 4^{2} + (- 9)^{2}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{133}$
Antwort: Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{133} FE$ .
Flächenberechnung Möglichkeit 2
Für ein beliebiges Dreieck gilt die folgende Flächenformel:
$A_{△} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{{\vec{a}}^{2} \cdot {\vec{b}}^{2} - (\vec{a} \circ \vec{b})^{2}}$
$\vec{a} = \vec{B C} = (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 5 \\ 3 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ - 2 \end{array})$
$\vec{b} = \vec{A C} = (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 7 \\ 0 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 2 \end{array})$
Eingesetzt in die Flächenformel:
$A_{△} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{{(\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ - 2 \end{array})}^{2} \cdot {(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 2 \end{array})}^{2} - {((\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ - 2 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 2 \end{array}))}^{2}}$
$A_{△} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(1 + 9 + 4) \cdot (9 + 0 + 4) - (3 + 0 + 4)^{2}}$
$A_{△} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{14 \cdot 13 - 7^{2}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{133}$
Antwort: Das Dreieck $A B C$ hat einen Flächeninhalt von $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{133} FE$
Flächenberechnung Möglichkeit 3
Für ein beliebiges Dreieck gilt die folgende Flächenformel:
$A_{△} = \frac{1}{2} \cdot | \vec{B C} | \cdot h$
Berechne h:
Berechne den Mittelpunkt $M_{a}$ der Strecke $[C B]$ .
$\vec{O M_{a}} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{O C} + \vec{O B})$
$\vec{O M_{a}} = \frac{1}{2} \cdot ((\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 5 \\ 3 \\ 1 \end{array})) = (\begin{array}{c} - \frac{9}{2} \\ \frac{3}{2} \\ 0 \end{array})$
$\vec{A M_{a}} = (\begin{array}{c} - \frac{9}{2} \\ \frac{3}{2} \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 7 \\ 0 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{3}{2} \\ - 1 \end{array})$
$h = | \vec{A M_{a}} | = \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} + {(\frac{3}{2})}^{2} + (- 1)^{2}} = \sqrt{\frac{38}{4}} = \sqrt{\frac{19}{2}}$
Der Betrag vom Vektor $\vec{B C}$ wurde unter a) berechnet: $| \vec{B C} | = \sqrt{14}$
Eingesetzt in die Flächenformel:
$A_{△} = \frac{1}{2} \cdot | \vec{B C} | \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{14} \cdot \sqrt{\frac{19}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{133} $
Antwort: Das Dreieck $A B C$ hat einen Flächeninhalt von $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{133} FE$ .

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$(4 + 2 t) - 3 (t) + 3 (1)$	$=$	$6$
	↓	Löse die Klammern auf.
$4 + 2 t - 3 t + 3$	$=$	$6$
	↓	Löse nach $t$ auf.
$7 - t$	$=$	$6$	$- 7$
$- t$	$=$	$- 1$	$\cdot (- 1)$
$t$	$=$	$1$

Pflichtteil

Lösung zu a)

Lösung zu b)

Lösung zu a)

Lösung zu b)

Lageuntersuchung: g∩E

Berechnung des Schnittpunktes der Geraden mit der Ebene

Lösung zu a)

Lösung zu b)

Lageuntersuchung:

Lösung zu a)

Lösung zu b)

Flächenberechnung Möglichkeit 1

Flächenberechnung Möglichkeit 2

Flächenberechnung Möglichkeit 3

Lösung zu a)

Lösung zu b)

Lösung zu c)

Flächenberechnung Möglichkeit 1

Flächenberechnung Möglichkeit 2

Flächenberechnung Möglichkeit 3

Berechne h:

Lageuntersuchung: $g \cap E$