Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 2

Lösung zu Teilaufgabe a)

Der Abstand des Punktes $Q(q|1|5)$ vom Punkt $P(-2|3|0)$ ist genauso groß wie Abstand des Punktes $Q$ vom Punkt $R(2|-1|2)$:

$\overrightarrow{QP}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}q\\ 1\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2-q\\ 3-1\\ 0-5\end{array}\right)$

Also ist $d(Q,P)=\sqrt{(-2-q{)}^2+(3-1{)}^2+(-5{)}^2}=\sqrt{(-2-q{)}^2+4+25}$

$d(Q,R)=\left|\left(\begin{array}{c}2-q\\ -1-1\\ 2-5\end{array}\right)\right|=\sqrt{(2-q{)}^2+2^2+3^2}=\sqrt{(2-q{)}^2+4+9}$

$d(Q,P)=d(Q,R)\iff (-2-q{)}^2+4+25=(2-q{)}^2+4+9$

$d(Q,P)=d(Q,R)\iff (-2-q{)}^2+25=(2-q{)}^2+9$

$\iff (-2-q{)}^2+16=(2-q{)}^2$

$⟺4+4q+q^2+16=4-4q+q^2⟺16=-8q⟺q=-2$

Lösung zu Teilaufgabe b)

Durch die Punkte $PQRS$ wird eine Raute festgelegt.

Da $d(Q,P)=d(Q,R)$ ergibt sich, dass $[P,R]$ Diagonale der Raute ist.

Damit wird durch $[Q,S]$ die zweite Diagonale der Raute festgelegt.

Bei einer Raute halbieren sich die Diagonalen. Deshalb sucht man den Mittelpunkt $M$ der Diagonalen $[P,R]$.

Für den Ortsvektor $\overrightarrow{m}$ des Mittelpunktes der Diagonalen $[P,R]$ gilt: $\overrightarrow{m}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{r}+\overrightarrow{p})$.

Also: $\overrightarrow{m}={\displaystyle \frac{1}{2}}[\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 0\end{array}\right)]={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)$.

Nun verdoppelt man den Weg von $Q$ nach $M$ und gelangt zum gesuchten Punkt $S$.

Damit ist

$\overrightarrow{s}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 5\end{array}\right)+2[\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 5\end{array}\right)]=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 5\end{array}\right)+2\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -3\end{array}\right)$

Damit haben wir $S(2|1|-3)$.

Die Raute $PQRS$ ist kein Quadrat, wenn $\overrightarrow{QR}$ und $\overrightarrow{QP}$ nicht orthogonal sind.

Man prüft mithilfe des Skalarproduktes:

$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -5\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ -3\end{array}\right)=0-4+15=11\ne 0$.

Damit ist die Raute kein Quadrat.