Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

Teilaufgabe a)

Der Graph der Funktion $y=x^2$ ist eine Normalparabel. Sie hat ihren Scheitel im Koordinatenursprung. Den Graph von $y=2-x^2$ erhält man, indem man die Normalparabel an der $x$-Achse spiegelt und um 2 Einheiten nach oben verschiebt.

$2-x^2>0\iff -\sqrt{2}<x<\sqrt{2}$

Damit ist der Definitionsbereich von $g$:

$D_g=]-\sqrt{2};\sqrt{2}[$

Teilaufgabe b)

Die Funktion $g\left(x\right)=\ln {(2-x^2)}_{}$ ist eine verkettete Funktion. Die $\ln$-Funktion ist die äußere, und $y=2-x^2$ ist die innere Funktion. Mit Anwendung der Kettenregel berechnet man die 1.Ableitung.

$g^{\prime }\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2-x^2}}\cdot (-2\cdot x)=-2\cdot {\displaystyle \frac{x}{2-x^2}}$.