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Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Gegeben sind die in IR definierten Funktionen $f : x \mapsto x^{2} + 4$ und

$g_{m} : x \mapsto m \cdot x$ mit $m \in ℝ$ . Der Graph von f wird mit $G_{f}$ und der Graph von $g_{m}$ mit $G_{m}$ bezeichnet.

Skizzieren Sie $G_{f}$ in einem Koordinatensystem. Berechnen Sie die Koordinaten des gemeinsamen Punkts der Graphen $G_{f}$ und $G_{4}$ .

Der Graph der Grundfunktion $h (x) = x^{2}$ ist die Normalparabel. Sie hat ihren Scheitel im Ursprung des Koordinatensystems.
Der zu zeichnende Graph der Funktion f ergibt sich durch Verschieben der Normalparabel um 4 Einheiten nach oben.
Berechnung des gemeinsamen Punktes der Graphen $G_{f}$ und $G_{4}$
$x^{2} + 4 = 4 \cdot x$
$x^{2} - 4 x + 4 = 0$
${(x - 2)}^{2} = 0$
$x = 2$ ist doppelte Lösung
Damit hat man als gemeinsamen Punkt einen Berührpunkt, $B (2; 8)$
Es gibt Werte von m, für die die Graphen $G_{f}$ und $G_{m}$ jeweils keinen gemeinsamen Punkt haben. Geben Sie diese Werte von m an

Man setzt die Funktionsterme gleich und sucht diejenigen $m$ , für die die Gleichung keine Lösung hat.
$x^{2} + 4 = m \cdot x$
$x^{2} - m \cdot x + 4 = 0$ quadratische Ergänzung
$x^{2} - m \cdot x = - 4$
$x^{2} - m \cdot x + {(\frac{m}{2})}^{2} = - 4 + \frac{m^{2}}{4}$
${(x - \frac{m}{2})}^{2} = \frac{(- 16 + m^{2})}{4}$ , da Quadrate nie negativ sind, muss $- 16 + m^{2} < 0$ sein.
$m^{2} < 16 ⟺ - 4 < m < 4.$
Für die Steigungen m, die zwischen -4 und 4 liegen, gibt es keine gemeinsame Punkte.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org