Pflichtteil

Die gegebene Funktion ist eine Summe aus zwei Funktionen $u(x)+v(x)$, sodass für jede dieser beiden Funktionen eine Stammfunktion ermittelt werden kann.

$u(x)=3\cdot e^{-2x}$

Die $3$ bleibt als konstanter Vorfaktor erhalten und zu $e^{-2x}$ ist $-{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-2x}$ eine Stammfunktion $\Rightarrow U(x)=3\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{2}})e^{-2x}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}{e}^{-2x}$

$v(x)={\displaystyle \frac{1}{2x}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}$

Die ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ bleibt als konstanter Vorfaktor erhalten und zu ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ ist $\ln |x|$ eine Stammfunktion $\Rightarrow V(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln |x|$

Eine Stammfunktion ist also:

Die gegebene Funktion ist eine Summe aus zwei Funktionen $u(x)$+$v(x)$, sodass für jede dieser beiden Funktionen eine Stammfunktion ermittelt werden kann.

$u(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2}}=x^{-2}$

Zu $x^{-2}$ ist $-x^{-1}$ eine Stammfunktion $\Rightarrow U(x)=-x^{-1}$

$v(x)=x$

Zu $x$ ist $\frac{1}{2}\cdot x^2$ eine Stammfunktion $\Rightarrow V(x)=\frac{1}{2}{x}^2$

Die Menge aller Stammfunktionen ist also:

Gesucht ist die Stammfunktion $F$ von $f$, deren Schaubild den Punkt $(1|0)$ enthält, d.h.

$F(1)=0\Rightarrow 0=-1^{-1}+\frac{1}{2}{1}^2+C$

$0=-1+\frac{1}{2}+C\Rightarrow 0=-\frac{1}{2}+C\Rightarrow C=\frac{1}{2}$

$${\displaystyle F(x)=-x^{-1}+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}}$$ oder $${\displaystyle F(x)=-\frac{1}{x}+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}}$$

Berechne die Ableitung von $F(x):$

Beachte, dass es sich bei $F(x)$ um eine verkettete Funktion handelt.

Zerlege die Funktion $F(x)$, sodass die Kettenregel angewendet werden kann. Die äußere Funktion ist die natürliche Logarithmusfunktion $g(x)=\ln (x)$ und die innere Funktion ist die Funktion $h(x)=1+x^2$

Es gilt also: $F(x)=g(h(x))$

Berechne die einzelnen Ableitungen:

$g^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ und $h^{\prime }(x)=2x$

Setze in die Formel der Kettenregel ein: $F^{\prime }(x)=g^{\prime }(h(x))\cdot h^{\prime }(x)$

$F^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}\cdot 2x=2\cdot {\displaystyle \frac{x}{1+x^2}}=f(x)$

Antwort: Damit ist gezeigt, dass $F(x)=\ln (1+x^2)$ eine Stammfunktion von $f(x)=2\cdot {\displaystyle \frac{x}{1+x^2}}$ ist.

Eine Stammfunktion zu ${\displaystyle \frac{3}{x}}$ ist $3\cdot \ln |x|$und zu 1 gehört die Stammfunktion $x$.

$\Rightarrow {\int }_1^e({\displaystyle \frac{3}{x}}-1)\mathrm{d}x={[3\cdot \ln |x|-x]}_1^e$

$=(3\cdot \underset{1}{\underbrace{\ln |e|}}-e)-(3\cdot \underset{0}{\underbrace{\ln |1|}}-1)=3-e+1=4-e$

Eine Stammfunktion zu $\sin (2x)$ ist $-\frac{1}{2}\cos (2x)$ und zu 1 gehört die Stammfunktion $x$.

$\Rightarrow {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}(\sin (2x)+1)\mathrm{d}x={[-\frac{1}{2}\cos (2x)+x]}_0^{\frac{\pi }{4}}$

$=(-\frac{1}{2}\cdot \underset{0}{\underbrace{\cos (2\cdot \frac{\pi }{4})}}+\frac{\pi }{4})-(-\frac{1}{2}\cdot \underset{1}{\underbrace{\cos (2\cdot 0)}}+0)$

$={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}$

Berechne die eingeschlossene Fläche in Abhängigkeit von $k$.

$A(k)={\int }_k^4\left({\displaystyle \frac{4}{\sqrt{x}}}\right)\mathrm{d}x={[8\cdot \sqrt{x}]}_k^4$

$=(8\cdot \sqrt{4})-(8\cdot \sqrt{k})=16-8\cdot \sqrt{k}$

Berechne nun den Grenzwert von $A(k)$ für $k\to 0$

$A={\lim }_{k\to 0}(16-8\cdot \sqrt{k})=16$

Antwort: Die Fläche hat einen endlichen Flächeninhalt $A=16\text{FE}$.