Aufgaben zu Nullstellen und Achsenschnittpunkten

Schnittpunkte mit den Achsen

Die Nullstelle bzw. der Schnittpunkt mit der y-Achse ist der Ursprung, denn:

$f\left(0\right)=0^2=0$

und $0=x^2$ für $x=0$

$S(0/0)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

Setze 0 in die Funktion ein, um den y-Achsenabschnitt zu erhalten:

$f\left(0\right)=0-2=-2$, also $T(0/-2)$

Schnittpunkt mit der x-Achse

Es soll gelten:

$x-2=0$ und das ist der Fall für $x=2$, also ist die Nullstelle bei $N\left(2/0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

Setze 0 in die Funktion ein, um den y-Achsenabschnitt zu erhalten:

$f\left(0\right)=2(0-2)(0-1)=2\cdot (-2)\cdot (-1)=4$

$T\left(0/4\right)$

Schnittpunkte mit der x-Achse

Ein Produkt ist immer dann 0, wenn einer seiner Faktoren 0 ist. Deshalb kann man den Term auseinander ziehen und jeden Faktor einzeln betrachten:

$(x-2)=0$ für $x=2$, also gibt es eine Nullstelle bei $N_1\left(2/0\right)$

$(x-1)=0$ für $x=1$, also gibt es eine Nullstelle bei $N_2\left(1/0\right)$

Probe:

$f\left(2\right)=2\cdot (2-2)\cdot (2-1)=2\cdot 0\cdot 1=0$

$f\left(1\right)=2\cdot (1-2)\cdot (1-1)=2\cdot (-1)\cdot 0=0$

Schnittpunkt mit der y-Achse

Setze 0 in die Funktion ein, um den y-Achsenabschnitt zu erhalten:

$f\left(0\right)=\mathrm{0,5}\cdot 0\cdot (0+2)=0$

Damit hat man auch schon die erste Nullstelle gefunden: $(0/0)$

Schnittpunkte mit der x-Achse

Ein Produkt ist immer dann 0, wenn einer seiner Faktoren 0 ist. Deshalb kann man den Term auseinander ziehen und jeden Faktor einzeln betrachten:

$x=0$ liefert die erste Nullstelle, die gleichzeitig auch der y-Achsenabschnitt ist

$(x+2)=0$ für $x=-2$, also ist die Nullstelle bei $(0/-2)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

Setze 0 in die Funktion ein, um den y-Achsenabschnitt zu erhalten:

$f\left(0\right)={(0+2)}^2=2^2=4$

Also $T\left(0/4\right)$

Schnittpunkte mit der x-Achse

Der Term lässt sich umschreiben zu: $f\left(x\right)=(x+2)(x+2)$

Ein Produkt ist immer dann 0, wenn einer seiner Faktoren 0 ist. Deshalb kann man den Term auseinander ziehen und jeden Faktor einzeln betrachten, wobei hier die beiden Faktoren ja identisch sind:

$x+2=0$ gilt für $x=-2$ und liefert die Nullstelle $N(-2/0)$

Es gibt keine weiteren Nullstellen.

Schnittpunkt mit der y-Achse

Setze 0 in die Funktion ein, um den y-Achsenabschnitt zu erhalten:

$f\left(0\right)=0^2-36=-36$, also $T(0/-36)$

Schnittpunkte mit der x-Achse

Hier versteckt sich die 3. binomische Formel:

$f\left(x\right)=x^2-36=(x+6)(x-6)$

Erneut ist ein Produkt immer dann 0, wenn einer seiner Faktoren 0 ist:

$(x+6)=0$ für $x=-6$, also $N_1(-6/0)$

$(x-6)=0$ für $x=6$ also $N_2\left(6/0\right)$