Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_{f^{'}}$ der Ableitungsfunktion f′ einer in $ℝ$ definierten ganzrationalen Funktion f. Nur in den Punkten $(- 4 | f^{'} (- 4))$ und $(5 | f^{'} (5)$ hat der Graph $G_{f^{'}}$ waagrechte Tangenten.

Begründen Sie, dass $f$ genau eine Wendestelle besitzt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkt
Die vorgelegte Funktion ist ganzrational. Also ist sie (mindestens) zweimal differenzierbar. Laut Text und Abb.1 hat der Graph der Funktion $f^{'}$ an den Stellen $x_{1} = - 4$ und $x_{2} = 5$ waagerechte Tangenten.
Somit gilt:
$f^{''} (- 4) = f^{''} (5) = 0$
Da aber der Graph von $f^{'}$ für $x < 5$ monoton steigend ist, gilt für $x < 5$ also $f^{''} (x) > 0$ .
Und für $x > 5$ fällt der Graph von $f^{'}$ . Also gilt für $x > 5$ also $f^{''} (x) < 0$ .
Somit liegt an der Stelle $x_{2} = 5$ eine Wendestelle.
An der Stelle $x_{1} = - 4$ liegt keine Wendestelle, da $f^{''}$ hier keine Vorzeichenänderung hat.
Es gibt Tangenten an den Graphen von f, die parallel zur Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten sind. Ermitteln Sie anhand des Graphen $G_{f^{'}}$ der Ableitungsfunktion f′ in der Abbildung 1 Näherungswerte für die x-Koordinaten derjenigen Punkte, in denen der Graph von f jeweils eine solche Tangente hat

Die Winkelhalbierende des I. und III. Quadranten hat die Steigung $m_{1} = 1$ .
Wenn der Graph von f Tangenten hat, die parallel zu diesen Winkelhalbierenden sind, so nimmt die Ableitungsfunktion $f^{'}$ die Werte $m_{1} = 1$ an.
Zeichnet man in Abb.1 Parallelen zu x-Achse im Abstand 1, so findet man, dass gilt: $f^{'} (2) = f^{'} (7) = 1$ .

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org