Weitere Aufgaben zu Extremwertproblemen

Teilaufgabe a

Für diese Teilaufgabe gibt es viele Lösungen. Du kannst zum Beispiel diese 10 Zahlenpaare angeben:

(0,1|6,4), (0,8|0,8), (1|0,64), (2|0,32), (4|0,16), (8|0,08), (10|0,064), (16|0,04), (32|0,02), (64|0,01).

Teilaufgabe b

Ein allgemeines Zahlenpaar kannst du schreiben als $(x|y)$ mit zwei Zahlen $x$ und $y$, die du noch bestimmen musst.

Da nach jenem Zahlenpaar gesucht ist, dass den kleinsten Summenwert besitzt, musst du die Funktion $f(x,y)=x+y$ unter der Nebenbedingung $x\cdot y=\mathrm{0,64}$ minimieren.

Löst du die Nebenbedingung nach $y$ auf, so erhältst du den Zusammenhang

den du in die Funktion $f$ einsetzen kannst. Das bedeutet:

Gesucht ist also das Minimum dieser Funktion. Kandidaten für Extremstellen von $f$ sind als Nullstellen von $f^{\prime }(x)$ gegeben. Die erste Ableitung von $f$ berechnet sich zu

Setzt du das eben berechnete $f^{\prime }(x)$ gleich null, so erhältst du als Lösungen

Da nach einem Zahlenpaar positiver Zahlen gesucht ist, kannst du die negative Lösung vernachlässigen. Um die Art des Extremums zu verifizieren (gesucht ist ja ein Minimum), berechnest du die zweite Ableitung. Sie ist gegeben durch

Setzt du $x=\mathrm{0,8}$ in $f^{\prime \prime }(x)$ ein, erkennst du, dass

gilt, sodass bei $x=\mathrm{0,8}$ tatsächlich ein Minimum von $f$ vorliegt.

Setzt du $x=\mathrm{0,8}$ in die Nebenbedingung $x\cdot y=\mathrm{0,64}$ ein, so erhältst du

Das gesuchte Zahlenpaar $(x|y)$ ist also $(\mathrm{0,8}|\mathrm{0,8})$.