Aufgaben zur Berechnung von Schnittpunkten

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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Untersuche die gegenseitige Lage von $f (x)$ und $g (x)$ in Abhängigkeit von $a$ , wenn gilt:
$f (x) = - x^{2} + 1; x \in ℝ$ und $g (x) = a x^{2} - a; x \in ℝ; a \in ℝ^{+}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte
Da $a$ positiv ist, ist der Graph von $g (x)$ eine nach oben geöffnete Parabel und liegt damit für $a \geq 1$ über dem Graph von $f$ und sonst darunter.
$\begin{array}{rcll} f (x) & = & g (x) \\ - x^{2} + 1 & = & a x^{2} - a & | + a | + x^{2} \\ 1 + a & = & x^{2} (1 + a) & | : (1 + a) \\ x^{2} & = & 1 & | \sqrt{} \\ x & = & \pm 1 \end{array}$
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Bestimme die Schnittpunkte der Geraden $y = x - 1,5$ mit der Parabel $y = x^{2} - 4 x + 2,5$ rechnerisch.
Kontrolliere dein Ergebnis graphisch.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen
$\begin{array}{l} y = x - 1,5 \\ y = x^{2} - 4 x + 2,5 \end{array}$
Funktionen gleichsetzen.
$x - 1,5 = x^{2} - 4 x + 2,5$
Rechne: $- x + 1,5$
$0 = x^{2} - 4 x - x + 2,5 + 1,5$
$0 = x^{2} - 5 x + 4$
Mitternachtsformel anwenden $\to$ Diskriminante $D$ berechnen.
$D = 25 - 4 \cdot 4 = 9$
$\begin{array}{l} x_{1} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = 1 \\ x_{2} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = 4 \end{array}$
$y$ -Werte berechnen. $\to$ $x_{1}$ in Gleichung einsetzen.
$\begin{array}{l} x_{1} = 1 \\ \Rightarrow y_{1} = f (x_{1}) = 1 - 1,5 = - 0,5 \end{array}$
$\Rightarrow S_{1} (1 | - 0,5)$
$x_{2}$ in Gleichung einsetzen.
$\begin{array}{l} x_{2} = 4 \\ \Rightarrow y_{2} = f (x_{2}) = 4 - 1,5 = 2,5 \end{array}$
$\Rightarrow S_{2} (4 | 2,5)$
Graphische Lösung:

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Aufgaben zur Berechnung von Schnittpunkten

Graphische Lösung: