Aufgaben zur Flächenberechnung an ebenen Vielecken

Berechne den Flächeninhalt des rechts abgebildeten Baums.

cm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren

Die Berechnung über eine Zerlegung in Drei- und Rechtecke ist hier näher ausgeführt.

Der Flächeninhalt $A_{B a u m}$ ergibt sich dann aus der Summe der Flächeninhalte der Drei- und Rechtecke der Zerlegung, also:

A_{B a u m} = A_{Δ_{1}} + A_{Δ_{2}} + A_{Δ_{2}}^{'} + A_{Δ_{3}} + A_{Δ_{3}}^{'} + A_{□}

Da der Baum symmetrisch ist, gelten folgende Beziehungen:

\begin{array}{lcl} A_{Δ_{2}} & = & A_{Δ_{2}}^{'} \\ A_{Δ_{3}} & = & A_{Δ_{3}}^{'} \end{array}

Also gilt : $A_{B a u m} = A_{Δ_{1}} + 2 \cdot A_{Δ_{2}} + 2 \cdot A_{Δ_{3}} + A_{□}$

Nun kannst du die Flächeninhalte der Dreiecke und des Rechtecks berechnen.

Flächeninhalt $A_{Δ_{2}}$ :

$A_{Δ_{2}} = \frac{1}{2} \cdot 1 cm \cdot 2 cm = 1 {cm}^{2}$

Flächeninhalt $A_{Δ_{3}}$ :

$A_{Δ_{3}} = \frac{1}{2} \cdot 2 cm \cdot 2 cm = 2 {cm}^{2}$

Zur Bestimmung des Flächeninhalts der Dreiecke $A_{Δ_{1}}$ benötigst du die Flächeninhaltsformel für Dreiecke.

Flächeninhalt $A_{Δ_{1}}$ :

$A_{Δ_{1}} = \frac{1}{2} \cdot 2 cm \cdot 2 cm = 2 {cm}^{2}$

Zur Bestimmung des Flächeninhalts des Rechtecks $A_{□}$ brauchst du die Flächeninhaltsformel für Rechtecke.

$A_{□} = 2 cm \cdot 6 cm = 12 {cm}^{2}$

Nun kannst du die Flächeninhalte der Dreiecke und des Rechtecks addieren, um $A_{B a u m}$ zu bestimmen.

\begin{array}{lcl} A_{B a u m} & = & A_{Δ_{1}} + 2 \cdot A_{Δ_{2}} + 2 \cdot A_{Δ_{3}} + A_{□} \\ = & 2 {cm}^{2} + 2 \cdot 1 {cm}^{2} + 2 \cdot 2 {cm}^{2} + 12 {cm}^{2} \\ = & 20 {cm}^{2} \end{array}

Der Flächeninhalt des Baums beträgt somit $20 {cm}^{2}$ .

Versuche den Baum in Formen zu zerlegen, deren Flächeninhalt du leicht berechnen kannst.

Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, um diese Aufgabe zu lösen.

Die vermutlich üblichste Möglichkeit ist es, den Baum in Figuren zu zerlegen, deren Flächeninhalt du leichter berechnen kannst.

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