Aufgaben zu Tangenten an Parabeln

Ohne Ableitung

$g(x)=\frac{3}{2}(x+2{)}^2-2,B(-1|y)$

Multipliziere mit Hilfe der binomischen Formel aus

$g(x)=\frac{3}{2}{x}^2+6x+4$

Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich

$\frac{3}{2}{x}^2+6x+4=mx+t$

Bringe alles auf eine Seite

$\frac{3}{2}{x}^2+(6-m)x+4-t=0$

Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null

$D=(6-m{)}^2-4\cdot \left(\frac{3}{2}\right)\cdot (4-t)=m^2-12m+12+6t=0$

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B

$y=\frac{3}{2}(-1{)}^2+6\cdot (-1)+4=-\frac{1}{2}$

Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein

$-\frac{1}{2}=-1\cdot m+t$

Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein

$m^2-12m+12+6(m-\frac{1}{2})=m^2-6m+9=0$

Löse nach m auf (z. B. durch Faktorisieren mit Hilfe einer binomischen Formel )

$m^2-6m+9=(m-3{)}^2=0\Rightarrow m=3$

Setze m und b in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf

$-\frac{1}{2}=-1\cdot 3+t\Rightarrow t=\frac{5}{2}$

Stelle die Tangentengleichung auf

$t_B(x)=3x+\frac{5}{2}$

Mit Ableitung

$g(x)=\frac{3}{2}(x+2{)}^2-2,B(-1|y)$

Berechne die Ableitung der Parabel

$g‘(x)=3(x+2)\cdot 1=3x+6$

Setze den x-Wert von B ein und erhalte m

$g‘(-1)=3\cdot (-1)+6=3=m$

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B

$y=\frac{3}{2}(-1+2{)}^2-2=-\frac{1}{2}$

Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t

$-\frac{1}{2}=-1\cdot 3+t\Rightarrow t=\frac{5}{2}$

Stelle die Tangentengleichung auf

$t_B(x)=3x+\frac{5}{2}$