Aufgaben zu Tangenten an Parabeln

Berechne die Tangente an die Funktion $h (x) = 2 x^{2} + 4 x - 1$ durch den Punkt $B (- 3 | y)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangenten an Parabeln

$h (x) = 2 x^{2} + 4 x - 1, B (- 3 | y)$

Berechne als erstes mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B, indem du $x = - 3$ in h einsetzt:

$y = 2 (- 3)^{2} + 4 \cdot (- 3) - 1 = 5$

Setze nun die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich:

Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null. Benutze beim Berechnen die zweite binomische Formel und multipliziere aus:

$D = (4 - m)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1 - t) = m^{2} - 8 m + 24 + 8 t = 0$

Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf:

$5$	$=$	$- 3 m + t$	$+ 3 m$
$5 + 3 m$	$=$	$t$

Setze t jetzt in die Diskriminantengleichung ein:

$m^{2} - 8 m + 24 + 8 (5 + 3 m)$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere die linke Seite aus
$m^{2} + 16 m + 64$	$=$	$0$
	↓	Verwende die binomische Formel
$(m + 8)^{2}$	$=$	$0$

$\Rightarrow m = - 8$

Setze m und B jetzt noch in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf:

$5$	$=$	$- 3 \cdot (- 8) + t$	$- 24$
$- 19$	$=$	$t$

Stelle die Tangentengleichung auf:

$t_{B} (x) = - 8 x - 19$

$h (x) = 2 x^{2} + 4 x - 1, B (- 3 | y)$

Berechne die Ableitung der Parabel

$h^{'} (x) = 4 x + 4$

Setze den x-Wert von B ein und erhalte m

$h^{'} (- 3) = 4 \cdot (- 3) + 4 = - 8 = m$

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B:

$y = 2 (- 3)^{2} + 4 \cdot (- 3) - 1 = 5$

Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t

$5 = - 3 \cdot (- 8) + t \Rightarrow t = - 19$

Stelle die Tangentengleichung auf

$t_{B} (x) = - 8 x - 19$

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