Aufgaben zum Quader

Berechne die fehlenden Werte in der Tabelle für einen Quader mit Länge $a$ , Breite $b$ und Höhe $h$ .

	Länge a	Breite b	Höhe h	Volumen V	Oberfläche O
a)	$5 cm$	$2 cm$	$8 cm$
b)	$3 cm$	$1 cm$	$9 cm$
c)	$3 cm$		$4 cm$	$120 {cm}^{3}$
d)		$7 m$	$18 m$		$652 m^{2}$
e)	$4 dm$			$60 {dm}^{3}$	$94 {dm}^{2}$
f)	$20 cm$	$1 m$		$100000 {cm}^{3}$
g)		$7 mm$	$2 cm$		$1900 {mm}^{2}$

Knobelaufgaben:

	Länge a	Breite b	Höhe h	Volumen V	Oberfläche O
h)	$x$	$x^{2}$	$y$
i)			$1 m$	$30 m^{3}$	$25 m^{2}$

i) Für einen Quader sollen folgende Angaben gegeben sein: Höhe $h = 1 m$ , Volumen $V = 30^{3}$ und Oberfläche $O = 25 m^{2}$ . Kannst du mit diesen Angaben die Länge $a$ und Breite $b$ des Quaders bestimmen?

j) Wenn ein Quader ein Volumen $V = 1 {cm}^{3}$ hat, kann dann sein Oberflächeninhalt $O = 0,8 {cm}^{2}$ betragen? Begründe deine Antwort.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberflächeninhalts eines Quaders

In diesen Teilaufgaben soll man die Formeln zur Berechnung des Volumens eines Quaders und des Oberflächeninhalts eines Quaders geeignet umstellen, um die fehlenden Werte in der Tabelle zu berechnen.

Das Volumen eines Quaders berechnet man über

V_{Q u a d e r} = a \cdot b \cdot h

Der Oberflächeninhalt des Quaders kannst du über folgende Formel bestimmen:

O_{Q u a d e r} = 2 a b + 2 a h + 2 b h

Teilaufgabe a)

In dieser Teilaufgabe sollst du das Volumen und die Oberfläche des Quaders berechnen.

$V_{Q u a d e r} = a \cdot b \cdot h = 5 cm \cdot 2 cm \cdot 8 cm = 80 {cm}^{3}$

$O_{Q u a d e r} = 2 a b + 2 a h + 2 b h$

$= 2 \cdot 5 cm \cdot 2 cm + 2 \cdot 5 cm \cdot 8 cm + 2 \cdot 2 cm \cdot 8 cm = 132 c m^{2}$

Der Quader hat das Volumen $V_{Q u a d e r}$ $80 {cm}^{3}$ . Sein Oberflächeninhalt $O_{Q u a d e r}$ beträgt $132 {cm}^{2}$ .

Teilaufgabe b)

In dieser Teilaufgabe sollst du ebenfalls das Volumen und die Oberfläche des Quaders berechnen.

$V_{Q u a d e r} = a \cdot b \cdot h = 3 cm \cdot 1 cm \cdot 9 cm = 27 {cm}^{3}$

$O_{Q u a d e r} = 2 a b + 2 a h + 2 b h$

$= 2 \cdot 3 cm \cdot 1 cm + 2 \cdot 3 cm \cdot 9 cm + 2 \cdot 1 cm \cdot 9 cm = 78 c m^{2}$

Der Quader hat das Volumen $V_{Q u a d e r}$ $27 {cm}^{3}$ . Der Oberflächeninhalt $O_{Q u a d e r}$ beträgt $78 {cm}^{2}$ .

Teilaufgabe c)

Hier sollst du nun die Breite des Quaders $b$ und seine Oberfläche $O_{Q u a d e r}$ berechnen.

Du hast hierfür bereits das Volumen $V_{Q u a d e r}$ $= 120 {cm}^{3}$ , die Länge $a$ $= 3 cm$ und die Höhe $h$ = $4 cm$ des Quaders gegeben.

Schritt 1: Gegebene Größen in die Volumenformel für den Quader einsetzen

$V_{Q u a d e r} = a \cdot b \cdot h$

$120 {cm}^{3} = 3 cm \cdot b \cdot 4 cm$

Schritt 2: Löse die Formel nach $b$ auf

$120 {cm}^{3} = 3 cm \cdot b \cdot 4 cm$ | $: 4 cm$

$30 {cm}^{2} = 3 cm \cdot b$ | $: 3 cm$

$b = 10 cm$

Der Quader hat also die Breite $b = 10 cm$ .

Schritt 3: Nun kannst du auch die Oberfläche berechnen $O_{Q u a d e r} = 2 a b + 2 a h + 2 b h$

$= 2 \cdot 3 cm \cdot 10 cm + 2 \cdot 3 cm \cdot 4 cm + 2 \cdot 10 cm \cdot 4 cm = 164 {cm}^{2}$

Der Quader hat den Oberflächeninhalt $O_{Q u a d e r} = 164 {cm}^{2}$ .

Teilaufgabe d)

Bei dieser Teilaufgabe sollst du sowohl die Länge, als auch das Volumen des Quaders berechnen.

Du hast hierfür die Breite $b$ $= 7 m$ , die Höhe $h$ = $18 m$ und die Oberfläche $O_{Q u a d e r}$ $= 652 m^{2}$ des Quaders gegeben.

Schritt 1: Gegebene Einheiten in die Oberflächen Formel einsetzen

$O_{Q u a d e r} = 2 a b + 2 a h + 2 b h$

$652 m^{2} = 2 a \cdot 7 m + 2 a \cdot 18 m + 2 \cdot 7 m \cdot 18 m$

Schritt 2: Löse die Formel nach $a$ auf

$652 m^{2} = 14 a + 36 a + 252 m^{2}$ | $- 252$ m²

$400 m^{2} = 50 a$ | $: 50$

$a = 8 m$

Die Länge des Quaders $a$ beträgt $8 m$ .

Schritt 3: Da du die Länge $a$ jetzt weißt, kannst du das Volumen berechnen. $V_{Q u a d e r} = a \cdot b \cdot h = 8 m \cdot 7 m \cdot 18 cm = 1008 m^{3}$

Der Quader hat das Volumen $V_{Q u a d e r} = 1008 m^{3}$ .

Teilaufgabe e)

Bei dieser Teilaufgabe sind Breite $b$ und Höhe $h$ gesucht. Der Rest ist gegeben. Eine Möglichkeit ist, probieren.

Schritt 1: Man sollte das Volumen $V_{Q u a d e r}$ durch die Länge $4 d m$ teilen.

$V_{Q u a d e r} : a = 60 d m^{3} : 4 d m = 15 d m^{2}$

Schritt 2: Aus welchen 2 Zahlen könnte $15$ das Produkt sein? Das ist $3$ und $5$ . Also $V_{Q u a d e r} = a \cdot b \cdot h = 60 d m^{3} = 4 d m \cdot 3 d m \cdot 5 d m$

Schritt 3: Überprüfe die ausprobierten Zahlen mit der Oberfläche $O_{Q u a d e r}$ : $O_{Q u a d e r} = 2 \cdot a \cdot b + 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h =$

$94 d m^{2} = 2 \cdot 4 d m \cdot 3 d m + 2 \cdot 4 d m \cdot 5 d m + 2 \cdot 3 d m \cdot 5 d m$

$94 d m^{2} = 2 \cdot 12 d m^{2} + 2 \cdot 20 d m^{2} + 2 \cdot 15 d m^{2}$

$94 d m^{2} = 24 d m^{2} + 40 d m^{2} + 30 d m^{2}$

$94 d m^{2} = 94 d m^{2}$

Also stimmen $b = 3 d m$ und $h = 5 d m$ oder $b = 5 d m$ und $h = 3 d m$ .

Lösungsweg 2 (nur für Fortgeschrittene):

Lösen durch ein Gleichungssystem

(Die Einheiten werden hier zur Vereinfachung weggelassen)

Schritt 1: Stelle das Gleichungssystem auf

$𝐈 4 \cdot b \cdot h = 60$

$𝐈 𝐈 2 \cdot 4 \cdot b + 2 \cdot 4 \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 94$

Schritt 2: Löse eine der Gleichungen nach einer der Variablen auf

$𝐈 4 \cdot b \cdot h = 60$ | $: 4$

$b \cdot h = 60 : 4 = 15$ | $: h$

$𝐈^{*} b = \frac{15}{h}$

$𝐈 𝐈 2 \cdot 4 \cdot b + 2 \cdot 4 \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 94$

Schritt 3: Setze die umgeformte Gleichung in die andere ein und nach $h$ umformen.

$𝐈^{*} i n 𝐈 𝐈 e i n s e t z t e n :$

$𝐈 𝐈^{*} 2 \cdot 4 \cdot \frac{15}{h} + 2 \cdot 4 \cdot h + 2 \cdot \frac{15}{h} \cdot h = 94$

$\frac{120}{h} + 8 h + 30 = 94$ | $- 30$

$\frac{120}{h} + 8 h = 64$ | $\cdot h$

$120 + 8 h = 64 h$ | $- 64 h$

$120 + 8 h^{2} - 64 h = 0$ | $: 8$

$h^{2} - 8 h^{2} + 15 = 0$

Mit Mitternachtsformel lösen:

$h_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{(- 8)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

$h_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

$h_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{2}$

$h_{1,2} = \frac{8 \pm 2}{2}$

$h_{1} = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$\Rightarrow h_{1} = 5 d m$

$h_{2} = \frac{8 - 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$\Rightarrow h_{2} = 3 d m$

Schritt 4: $h_{1}$ und $h_{2}$ in $𝐈^{*}$ einsetzen

$h_{1} i n 𝐈^{*} e i n s e t z e n :$

$b = \frac{15}{5} = 3$

$\Rightarrow b = 3 d m$

$h_{2} i n 𝐈^{*} e i n s e t z e n :$

$b = \frac{15}{3} = 5$

$\Rightarrow b = 5 d m$

Teilaufgabe f)

In dieser Teilaufgabe wird die Höhe und die Oberfläche des Quaders gesucht. Gegeben ist die Länge $a$ $= 20 cm$ , die Breite $b$ $= 1 m$ und das Volumen $V_{Q u a d e r}$ $= 100000 {cm}^{3}$ .

Schritt 1: Alle Zahlen auf die selben Einheiten umrechnen $a = 20 cm$

$b = 1 m \cdot 100 = 100 cm$

$V_{Q u a d e r} = 100000 {cm}^{3}$

Schritt 2: Die gegeben Einheiten in die Volumen Formel einsetzen $V_{Q u a d e r} = a \cdot b \cdot h$ $100000 {cm}^{3} = 20 cm \cdot 100 cm \cdot h$

Schritt 3: Löse die Formel nach $h$ auf

$100000 {cm}^{3} = 20 cm \cdot 100 cm \cdot h$ $| : 100$

$1000 {cm}^{2} = 20 cm \cdot h$ $| : 20$

$h = 50 cm$

Der Quader hat die Höhe $h$ $= 50 cm$ .

Schritt 4: Jetzt kannst du die Oberfläche des Quaders berechnen $O_{Q u a d e r} = 2 a b + 2 a h + 2 b h$

$= 2 \cdot 20 cm \cdot 100 cm + 2 \cdot 20 cm \cdot 50 cm + 2 \cdot 100 cm \cdot 50 cm = 16000 {cm}^{2}$

Der Oberflächeninhalt beträgt $O_{Q u a d e r}$ $= 16000 {cm}^{2}$ .

Teilaufgabe g)

Hier ist jetzt die Länge und das Volumen gesucht. Die Breite $b$ $= 7 mm$ .

Die Höhe $h$ $2 cm$ und die Oberfläche $O_{Q u a d e r}$ $= 1900 {mm}^{2}$ sind bereits gegeben.

Schritt 1: Alle Zahlen auf die selben Einheiten umrechnen $b = 7 cm$

$h = 2 cm \cdot 10 = 20 mm$

$O_{Q u a d e r} = 1900 {mm}^{2}$

Schritt 2: Alle gegeben Zahlen in die Oberflächen Formel einsetzen $O_{Q u a d e r} = 2 a b + 2 a h + 2 b h$

$1900 {cm}^{2} = 2 a \cdot 7 mm + 2 a \cdot 20 mm + 2 \cdot 7 mm \cdot 20 mm$

Schritt 3: Die Löse die Oberflächen Formel nach $a$ auf $1900 {mm}^{2} = 2 a \cdot 7 mm + 2 a \cdot 20 mm + 2 \cdot 7 mm \cdot 20 mm$

$1900 {mm}^{2} = 14 a + 40 a + 280 m m^{2}$ $| - 280$ mm²

$1620 {mm}^{2} = 54 a$ $| : 54$

$a = 30 mm$

Die Länge des Quaders liegt bei $a$ $= 30 mm$ .

Schritt 4: Das Volumen des Quaders berechnen. $V_{Q u a d e r} = a \cdot b \cdot h = 30 mm \cdot 7 mm \cdot 20 mm = 4200 {mm}^{3}$

Der Quader hat das Volumen $V_{Q u a d e r}$ $= 4200 {cm}^{3}$ .

Knobelaufgabe h)

Bei dieser Aufgabe soll sowohl das Volumen als auch die Oberfläche des Quaders berechnet werden. Die Besonderheit hierbei ist, dass du keine Zahlen sondern Variablen für die Länge $a$ $= x$ , Breite $b$ $= x^{2}$ und Höhe $h$ $= y$ gegeben hast.

Schritt 1: Variablen in die Volumen Formel einsetzen $V_{Q u a d e r} = a \cdot b \cdot h$ $V_{Q u a d e r} = x \cdot x^{2} \cdot y$

Schritt 2: Berechnung des Volumens

Das Volumen liegt bei $V_{Q u a d e r}$ $= x^{3} y$

Schritt 3: Variablen in die Oberflächen Formel einsetzen $O_{Q u a d e r} = 2 a b + 2 a h + 2 b h$

$O_{Q u a d e r} = 2 x x^{2} + 2 x y + 2 x^{2} y$

Schritt 4: Berechnung der Oberfläche $O_{Q u a d e r} = 2 x x^{2} + 2 x y + 2 x^{2} y$ .

Die Oberfläche hat den Flächeninhalt $O_{Q u a d e r} = 2 x x^{2} + 2 x y + 2 x^{2} y$ .

Knobelaufgabe i)

In dieser Teilaufgabe sollst du die Länge $a$ und die Breite $b$ berechnen. Hierfür hast du die Höhe $h$ = $1 m$ , das Volumen $V_{Q u a d e r}$ $= 30 m^{3}$ und den Oberflächeninhalt $O_{Q u a d e r}$ $= 25 m^{2}$ gegeben.

Schritt 1: Setze die gegebenen Zahlen in die Volumen Formel ein und vereinfache den Term soweit wie möglich

$V_{Q u a d e r} = a \cdot b \cdot h$

$30 m^{3} = a \cdot b \cdot 1 m$ $| : 1 m$

$30 m^{2} = a \cdot b$

Schritt 2: Setze die gegebenen Zahlen in die Oberflächeninhalt Formel ein und vereinfache den Term soweit wie möglich $O_{Q u a d e r} = 2 a b + 2 a h + 2 b h$ $25 m^{2} = 2 a b + 2 a + 2 b$

Schritt 3: Vergleiche die Formeln miteinander

$a b = 30 {cm}^{2}$

$2 a b + 2 a + 2 b = 25 {cm}^{2}$

Setze $a b = 30 {cm}^{2}$ in die Formel für die Oberfläche ein.

$60 c m^{2} + 2 a + 2 b = 25 m^{2}$

Schritt 4:

$2 a + 2 b = - 35 c m$ .

Da die Maße für Länge und Breite nicht negativ sein können, führt dies zu einem Widerspruch.

Daher gibt es in dieser Teilaufgabe keine Lösung!

Knobelaufgabe i)

Angenommen das Volumen V beträgt $1 m^{3}$ , dann heißt das:

$V = a \cdot b \cdot h = 1 m^{3}$

Einer der Faktoren $a$ , $b$ oder $h$ muss kleiner als $2 m$ sein, weil sonst $V = a \cdot b \cdot h > 2 m \cdot 2 m \cdot 2 m = 8 m^{3}$ gilt. Jedoch ist das Volumen $1 m^{3}$ und daher nicht grüßer als $8 m^{3}$ .

Also ist entweder $a$ , $b$ oder $h$ kleiner als $2 m$ .

Angenommen $h < 2 m$ :

$\Rightarrow 0,8 = O = 2 a b + 2 a h + 2 b h > 2 a b > a b c = 1$

Die Ungleichung führt uns zu einem Widerspruch und daher kann es keinen Quader mit dem angegebenen Volumen und Oberfläche geben.

Für die Fälle $a$ kleiner $2 m$ und $b$ kleiner $2 m$ gilt das ebenfalls.

Komplette Lösung

	Länge a	Breite b	Höhe h	Volumen V	Oberfläche O
a)	$5 cm$	$2 cm$	$8 cm$	$90 {cm}^{3}$	$132 {cm}^{2}$
b)	$3 cm$	$1 cm$	$9 cm$	$27 {cm}^{3}$	$78 {cm}^{2}$
c)	$3 cm$	$10 cm$	$4 cm$	$120 {cm}^{3}$	$164 {cm}^{2}$
d)	$8 cm$	$7 m$	$18 m$	$1008 {cm}^{3}$	$652 {cm}^{2}$
e)	$4 dm$	$5 dm$ oder $3 dm$	$3 dm$ oder $5 dm$	$60 {dm}^{3}$	$94 {dm}^{2}$
f)	$20 cm$	$1 m$	$50 cm$	$1000000 {cm}^{3}$	$16000 {cm}^{2}$
g)	$30 cm$	$7 mm$	$2 cm$	$4200 {cm}^{3}$	$1900 {mm}^{2}$
h)	$x$	$x^{2}$	$y$	$x^{3} y^{3}$	$2 x x^{2} + 2 x y + 2 x^{2} y^{2}$

i) Es gibt keine Lösung.

j) Es gibt keine Lösung.

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