Aufgaben zu Graphen von linearen Funktionen

Lineare Funktion $f(x)$

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

$f(x)=m\cdot x+t$

Lies den y-Achsenabschnitt an der Abbildung ab.

$t=2$

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab und berechne die Steigung:

Du kannst zum Beispiel diese Punkte verwenden:

$P_1(-3|0)$ $x_1=-3$ und $y_1=0$

$P_2(0|2)$ $x_2=0$ und $y_2=2$

Für die Steigung erhältst du dann durch einsetzen:

$${\displaystyle m=\frac{2-0}{0-(-3)}=\frac{2}{3}}$$

Setze die berechneten Werte von $m$ und $t$ nun in die allgemeine Form ein:

$f(x)={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot x+2$

Lineare Funktion $g(x)$

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

$g(x)=m\cdot x+t$

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um die Steigung zu berechnen.

$${\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$$

Beispielsweise kannst du diese beiden Punkte verwenden:

$P_1(2|-4)$ $x_1=2$ und $y_1=-4$

$P_2(\mathrm{3,5}|0)$ $x_2=\mathrm{3,5}$ und $y_2=0$

Die Steigung ist dann:

$${\displaystyle m=\frac{0-(-4)}{\mathrm{3,5}-2}=\frac{4}{\mathrm{1,5}}=4\cdot \frac{2}{3}=\frac{8}{3}}$$

Da der y-Achsenabschnitt nicht sichtbar ist, musst du ihn berechnen. Stelle dafür die Geradengleichung auf.

$${\displaystyle g(x)=\frac{8}{3}\cdot x+t}$$

Setze einen der Punkte ein, zum Beispiel $(2|-4)$.

$${\displaystyle -4=\frac{8}{3}\cdot 2+t}$$

Löse nun nach $t$ auf.

$${\displaystyle t=-4-\frac{8}{3}\cdot 2=-\frac{12}{3}-\frac{16}{3}=-\frac{28}{3}}$$

Setze die Werte von $m$ und $t$ in die allgemeine Form der linearen Funktion ein und du bekommst die Geradengleichung:

$${\displaystyle g(x)=\frac{8}{3}\cdot x-\frac{28}{3}}$$

Lineare Funktion $h(x)$

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

$h(x)=m\cdot x+t$

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um die Steigung zu berechnen.

$${\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$$

Du kannst zum Beispiel diese beiden Punkte verwenden:

$P_1(0|-2)$ $x_1=0$ und $y_1=-2$

$P_2(4|-3)$ $x_2=4$ und $y_2=-3$

Mit ihnen kannst du nun die Steigung berechnen:

$${\displaystyle m=\frac{-3-(-2)}{4-0}=\frac{-3+2}{4}=-\frac{1}{4}}$$

Lies entweder $t=-2$ ab oder berechne den Wert. Um ihn zu berechnen, stelle die Geradengleichung auf.

$${\displaystyle h(x)=-\frac{1}{4}\cdot x+t}$$

Setze einen Punkt ein, der auf der Gerade liegt, zum Beispiel $(4|-3)$.

$${\displaystyle -3=-\frac{1}{4}\cdot 4+t}$$

Löse nun noch nach $t$ auf.

$t=-3+1=-2$

Setze $m=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$ und $t=-2$ in die allgemeine Form ein und du erhältst die Geradengleichung:

$${\displaystyle h(x)=-\frac{1}{4}\cdot x-2}$$

Lineare Funktion $f(x)$

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

$f(x)=m\cdot x+t$

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um mit ihnen die Steigung zu berechnen:

$${\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$$

Du kannst zum Beispiel diese beiden Punkte verwenden:

$P_1(2|4)$ $x_1=2$ und $y_1=4$

$P_2(\mathrm{2,5}|0)$ $x_2=\mathrm{2,5}$ und $y_2=0$

Als Steigung ergibt sich:

$${\displaystyle m=\frac{0-4}{\mathrm{2,5}-2}=\frac{-4}{\mathrm{0,5}}=-4\cdot \frac{2}{1}=-8}$$

Da der y-Achsenabschnitt nicht sichtbar ist, musst du ihn berechnen. Stelle daher die Geradengleichung auf:

$${\displaystyle f(x)=-8\cdot x+t}$$

Setze einen der Punkte, zum Beispiel $(2|4)$, ein:

$${\displaystyle 4=-8\cdot 2+t}$$

Löse nach $t$ auf.

$${\displaystyle t=4+8\cdot 2=4+16=20}$$

Setze $m=-8$ und $t=20$ in die allgemeine Form ein und du bekommst als Ergebnis die Geradengleichung:

$f(x)=-8\cdot x+20$

Lineare Funktion $g(x)$

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

$g(x)=m\cdot x+t$

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab, um mit ihnen die Steigung zu berechnen:

$${\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$$

Du kannst zum Beispiel diese beiden Punkte verwenden:

$P_1(0|-2)$ $x_1=0$ und $y_1=-2$

$P_2(-4|-3)$ $x_2=-4$ und $y_2=-3$

Berechne mit ihnen nun die Steigung:

$${\displaystyle m=\frac{-3-(-2)}{-4-0}=\frac{-3+2}{-4}=\frac{1}{4}}$$

Lies den y-Achsenabschnitt an der Abbildung ab.

$t=-2$

Setze $m={\displaystyle \frac{1}{4}}$ und $t=-2$ in die allgemeine Form der linearen Funktion ein und du erhältst die Geradengleichung von $g$:

$${\displaystyle g(x)=\frac{1}{4}\cdot x-2}$$