Aufgaben zu linearen Funktionen

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{m}\cdot \mathrm{x}+\mathrm{t}$

Setze $\mathrm{f}\left(1\right)$ und $\mathrm{f}(-1)$ in die allgemeine Geradengleichung ein.

$\begin{array}{l}1)7=\mathrm{m}\cdot 1+\mathrm{t}\\ 2)3=\mathrm{m}\cdot (-1)+\mathrm{t}\end{array}$

Löse das Gleichungssystem auf.

$1)+2):10=2\mathrm{t}|:2$

$\Rightarrow \mathrm{t}=5$

Setze t in 1) ein.

$7=\mathrm{m}+5|-5$

$\mathrm{m}=2$

Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=2\mathrm{x}+5$

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{m}\cdot \mathrm{x}+\mathrm{t}$

t ist der y-Achsenabschnitt, also der Wert bei x=0.

$\mathrm{t}=\mathrm{f}(0)=a$

Setze das und f(a)=0 in die allgemeine Geradengleichung ein.

$0=\mathrm{m}\cdot a+a$

Löse nach m auf.

$\mathrm{m}={\displaystyle \frac{-a}{a}}=-1$

Setze m = -1 und t = a in die allgemeine Funktionsgleichung ein.

$\mathrm{f}(x)=-x+a$

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{m}\cdot \mathrm{x}+\mathrm{t}$

Setze $\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)$ und $\mathrm{f}\left(2\mathrm{a}\right)$ in die allgemeine Geradengleichung ein.

$\begin{array}{rrclcr}\text{I}& 1& =& \mathrm{m}\cdot \mathrm{a}& +& \mathrm{t}\\ \text{II}& -1& =& \mathrm{m}\cdot 2\mathrm{a}& +& \mathrm{t}\end{array}$

Löse das Gleichungssystem auf.

$\begin{array}{l}2\cdot \text{I}-\text{II}:\\ 2-(-1)=2\mathrm{t}-\mathrm{t}\end{array}$

$\Rightarrow \mathrm{t}=3$

Setze t in $\text{I}$ ein.

$1=\mathrm{m}\cdot \mathrm{a}+3$

Löse die Gleichung nach m auf.

$\mathrm{m}=(1-3)\cdot {\displaystyle \frac{1}{a}}=-{\displaystyle \frac{2}{a}}$

Setze $\mathrm{m}=-{\displaystyle \frac{2}{a}}$ und $t=3$ in die allgemeine Geradengleichung ein.

$\mathrm{f}(x)=-{\displaystyle \frac{2}{a}}\cdot x+3$