Mathe Bayern Mittelschule Quali Abschlussprüfungen - Mathematik mit Lösung 2019 Teil B, Gruppe 2

Teil B, Gruppe 2

Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.

Ein Werkstück besteht aus einem regelmäßigen sechseckigen Prisma und einer aufgesetzten Pyramide (siehe Abbildung).

Berechne das Volumen des Werkstücks.

Maße in cm

Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenformel

Die Lösung zu dieser Aufgabe gibt es als Video und als Text.

Lösung als Video

Lösung als Text

Um das Volumen für das Werkstück zu berechnen, musst du zuerst die Größe der sechseckigen Grundfläche kennen und anschließend die entsprechenden Volumenformeln nutzen.

Berechnung der Grundfläche

Die Grundfläche ist für beide Körper gleich und besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken.

Die Formel für die Fläche eines Dreiecks lautet

A_{D r e i e c k} = \frac{g \cdot h}{2}

Die Grundseite g beträgt 15 cm, die Höhe h ist aber unbekannt. Diese kannst du mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

\begin{array}{l} h^{2} = 15^{2} - {7,5}^{2} \\ h = \sqrt{168,75} \approx 13 \end{array}

Die Fläche eines einzelnen Dreiecks kann man nun mit der Dreiecksformel berechnen

A_{D r e i e c k} = \frac{15 c m \cdot 13 c m}{2} = 97,7 c m^{2}

Da die Grundfläche beider Körper aus sechs solcher Dreiecken besteht, musst du noch mit 6 multiplizieren.

G = 6 \cdot 97,5 c m^{2} = 585 c m^{2}

Berechnung des Volumens

Die Formel für die Berechnung des Volumens des Prismas lautet.

V_{P r i s m a} = G \cdot h

V_{P r i s m a} = 585 c m^{2} \cdot 5 c m = 2925 c m^{3}

Die Formel für die Berechnung des Volumens der Pyramide lautet.

V_{P y r a m i d e} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

V_{P y r a m i d e} = \frac{1}{3} \cdot 585 c m^{2} \cdot 20 c m = 3900 c m^{3}

Nun musst du noch das Volumen beider Körper addieren.

V_{g e s a m t} = 2925 c m^{3} + 3900 c m^{3} = 6825 c m^{3}

Das Volumen des Werkstücks beträgt somit $6825 c m^{3}$ .

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