Gemischte Aufgaben zur Volumenberechung

Das Volumen der Pyramide

$V_P={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot G\cdot h_p$

Die Grundfläche besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken mit der Seitenlänge $r$.

Die Höhe in diesen gleichseitigen Dreiecken ist gleich dem angegebenen Innenkreisradius

$h_{\mathrm{\Delta }}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\cdot r\Rightarrow A_{\mathrm{\Delta }}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot r\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\cdot r={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}\cdot r^2$

$\Rightarrow G=6\cdot A_{\mathrm{\Delta }}=6\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}\cdot r^2$

Die Höhe der Pyramide $h_P$ kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden.

Im Dreieck $AGS$ gilt: $h_P^2+r^2=(\mathrm{2,6}r{)}^2\Rightarrow h_P^2={\mathrm{2,6}}^2{r}^2-r^2=\mathrm{5,76}{r}^2$

$\Rightarrow$$h_P=\mathrm{2,4}r$

Für das das Volumen der Pyramide folgt dann:

$V_P={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot G\cdot h_p={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 6\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}\cdot r^2\cdot \mathrm{2,4}r=\mathrm{1,2}\sqrt{3}{r}^3$

Das Pyramidenvolumen beträgt:

Neigungswinkel der Seitenkante zur Grundfläche

Gesucht ist der Winkel $GAS$.

Im Dreieck $GAS$ gilt:

$\cos \phi ={\displaystyle \frac{\overline{AG}}{\overline{AS}}}={\displaystyle \frac{r}{\mathrm{2,6}r}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{2,6}}}\Rightarrow \phi ={\cos }^{-1}\left({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{2,6}}}\right)={\mathrm{67,38}}^{\circ }$

Neigungswinkel der Seitenfläche zur Grundfläche.

Gesucht ist der Winkel $GLS$.

Im Dreieck $GLS$ gilt:

$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{h_P}{\overline{GL}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,4}r}{{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\cdot r}}={\displaystyle \frac{\mathrm{4,8}}{\sqrt{3}}}\Rightarrow \alpha ={\tan }^{-1}\left({\displaystyle \frac{\mathrm{4,8}}{\sqrt{3}}}\right)={\mathrm{70,16}}^{\circ }$