Gemischte Aufgaben zu Volumenberechnung

${\mathrm{V}}_{\mathrm{R}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{k}\ddot{\mathrm{o}}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}}={\mathrm{V}}_{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{o}ß\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{Zylinder}}-{\mathrm{V}}_{\mathrm{kleiner}\mathrm{Zylinder}}+{\mathrm{V}}_{\mathrm{Kegel}}$

$\begin{array}{l}{\mathrm{V}}_{\mathrm{Kegel}}=\frac{1}{3}\cdot ({\mathrm{r}}_{\mathrm{Kegel}}{)}^2\cdot \mathrm{\pi }\cdot {\mathrm{h}}_{\mathrm{Kegel}}\\ =\frac{1}{3}\cdot (2\mathrm{a}{)}^2\cdot \mathrm{\pi }\cdot \mathrm{a}\\ =\frac{1}{3}\cdot 4{\mathrm{a}}^2\cdot \mathrm{\pi }\cdot \mathrm{a}\\ =\frac{4}{3}{\mathrm{a}}^3\cdot \mathrm{\pi }\end{array}$

Setze die bekannten Größen in die allgemeine Volumenformel des Zylinders ein.

$\begin{array}{l}{\mathrm{V}}_{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{o}ß\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{Zylinder}}=({\mathrm{r}}_{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{o}ß\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{Zylinder}}{)}^2\cdot \mathrm{\pi }\cdot {\mathrm{h}}_{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{o}ß\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{Zylinder}}\\ =(2\mathrm{a}{)}^2\cdot \mathrm{\pi }\cdot \mathrm{a}\\ =4{\mathrm{a}}^2\cdot \mathrm{\pi }\cdot \mathrm{a}\\ =4{\mathrm{a}}^3\cdot \mathrm{\pi }\end{array}$

$\begin{array}{l}{\mathrm{V}}_{\mathrm{kleiner}\mathrm{Zylinder}}=({\mathrm{r}}_{\mathrm{kleiner}\mathrm{Zylinder}}{)}^2\cdot \mathrm{\pi }\cdot {\mathrm{h}}_{\mathrm{kleiner}\mathrm{Zylinder}}\\ ={\mathrm{a}}^2\cdot \mathrm{\pi }\cdot \mathrm{a}\\ ={\mathrm{a}}^3\cdot \mathrm{\pi }\end{array}$

Führe alle Ergebnisse in die ursprüngliche Gleichung zusammen.

$\begin{array}{l}{\mathrm{V}}_{\mathrm{R}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{k}\ddot{\mathrm{o}}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}}=4{\mathrm{a}}^3\cdot \mathrm{\pi }-{\mathrm{a}}^3\cdot \mathrm{\pi }+\frac{4}{3}\cdot {\mathrm{a}}^3\cdot \mathrm{\pi }\\ =4\frac{1}{3}\cdot {\mathrm{a}}^3\cdot \mathrm{\pi }\end{array}$