Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 2

Jeder sechste Besucher eines Volksfestes trägt ein Lebkuchenherz um den Hals. Während der Dauer des Volksfests wird 25-mal ein Besucher zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der ausgewählten Besucher, die ein Lebkuchenherz tragen.

(2 BE)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den ausgewählten Besuchern höchstens ein Besucher ein Lebkuchenherz trägt.

(2 BE)

Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $\sum_{i = 5}^{8} B (25; \frac{1}{6}; i)$ berechnet werden kann.

(4 BE)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert der Zufallsgröße $X$ höchstens um eine Standardabweichung vom Erwartungswert der Zufallsgröße abweicht.

In der Aufgabe ist eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ gegeben. Für ein bestimmtes Ereignis, das durch $X$ beschrieben wird, ist in Teilaufgabe a) dessen Wahrscheinlichkeit zu berechnen. In Teilaufgabe b) soll - gewissermaßen umgekehrt - zu einem vorgegebenen Berechnungsterm ein passendes Ereignis im Sachzusammenhang angegeben werden. Für Teilaufgabe c) benötigst du Kenntnisse über den Erwartungswert und die Standardabweichung von $X$ .

Lösung Teilaufgabe a)

(2 BE)

$X$ beschreibt die Anzahl der ausgewählten Besucher mit einem Lebkuchenherz.

$X$ ist binomialverteilt mit der Länge $n = 25$ und der Trefferwahrscheinlichkeit $p = \frac{1}{6}$ .

Das Ereignis "höchstens ein Treffer" erfasst du mit folgender Summenwahrscheinlichkeit:

P_{\frac{1}{6}}^{25} (X \leq 1) = \sum_{i = 0}^{1} B (25; \frac{1}{6}; i),

die du in der entsprechenden Spalte des Tafelwerks mit

0,06290

abliest.

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Besuchern höchstens einer ein Lebkuchenherz trägt, ist rund $6,29$ %.

Lösung Teilaufgabe b)

(2 BE)

Es gilt:

\sum_{i = 5}^{8} B (25; \frac{1}{6}; i) = P_{\frac{1}{6}}^{25} (5 \leq X \leq 8) .

Dazu passt folgendes Ereignis:

"Unter den 25 ausgewählten Besuchern tragen mindestens 5 und höchstens 8 ein Lebkuchenherz."

Lösung Teilaufgabe c)

(4 BE)

Die Aufgabenstellung verlangt, dass die Trefferzahl höchstens um die Standardabweichung $σ$ vom Erwartungswert $μ$ abweicht.

Diese Bedingung erfasst du durch eine Ungleichung der folgenden Art:

$| X - μ | \leq σ$ .

Oder besser durch die Doppelungleichung

$μ - σ \leq X \leq μ + σ$

Berechne zuerst den Erwartungswert $μ$ und die Standardabweichung $σ$ für die nach $B (25; \frac{1}{6})$ verteilte Zufallsgröße $X$ .

Du erhältst:

$μ = n \cdot p = 25 \cdot \frac{1}{6} \approx 4,17$ ,

und

$σ = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{25 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6}} \approx 1,86.$

Jetzt stellst du das Intervall auf, dessen Wahrscheinlichkeit du angeben sollst.

Es ergibt sich:

$μ - σ = 4,17 - 1,86 = 2,31$ und

$μ + σ = 4,17 + 1,86 = 6,03$ .

Da die Intervallgrenzen ganzzahlig sein müssen (für $X$ gilt $k \in ℕ!)$ , musst du für die linke Grenze auf $3$ aufrunden und die rechte Grenze auf $6$ abrunden.

$\begin{array}{rcll} P_{\frac{1}{6}}^{25} (3 \leq X \leq 6) & = & P_{\frac{1}{6}}^{25} (X \leq 6) - P_{\frac{1}{6}}^{25} (X \leq 2) \\ = & 0,89077 - 0,18869 \\ = & 0,70208 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert der Zufallsgröße $X$ höchstens um eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht, ist rund 70,2%.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org