Aufgaben zum Erwartungswert

Zwei 6-seitige Laplace-Würfel werden gleichzeitig geworfen.

Aus der Beispielrechnung der diskreten Zufallsvariablen zum Erwartungswert wissen wir, dass dieser bei 7 liegt

Wie verändert sich der Erwartungswert, wenn man folgende Änderungen vornimmt?
Bestimme den Erwartungswert, wenn man nur einen Würfel verwendet

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Hier ist $Ω = {1,2,3,4,5,6}$ und $X (ω) = ω$ .
Benutze die Formel für den Erwartungswert:
$E (X)$ $=$ $\sum_{k \in Ω} k \cdot P (X = k)$
↓
Setze die Werte ein.
$=$ $1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6}$
↓
Klammere aus und vereinfache.
$=$ $\frac{1}{6} \cdot (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)$
$=$ $\frac{1}{6} \cdot 21$
$=$ $3,5$
Bestimme den Erwartungswert, wenn man bei beiden Würfeln die 1 durch eine 7 ersetzt

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Die 1 wird zu einer 7, dadurch verschieben sich die Werte der Zufallsgröße von $Ω = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}$ zu $Ω = {4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14}$
$\begin{array}{ccccccccccccc} x & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 \\ P (X = x) & \frac{1}{36} & \frac{2}{36} & \frac{3}{36} & \frac{4}{36} & \frac{5}{36} & \frac{6}{36} & \frac{5}{36} & \frac{4}{36} & \frac{3}{36} & \frac{2}{36} & \frac{1}{36} \end{array}$
Damit ergibt der Erwartungswert für dieses Experiment.
$\begin{array}{ccl} E (X) & = & 4 \cdot \frac{1}{36} + 5 \cdot \frac{2}{36} + 6 \cdot \frac{3}{36} + 7 \cdot \frac{4}{36} + 8 \cdot \frac{5}{36} + 9 \cdot \frac{6}{36} \\ + 10 \cdot \frac{5}{36} + 11 \cdot \frac{4}{36} + 12 \cdot \frac{3}{36} + 13 \cdot \frac{2}{36} + 14 \cdot \frac{1}{36} \\ = & 9 \end{array}$
Ein Würfel wird 15 mal geworfen. Wie lauten die Erwartungswerte für folgende Ereignisse:

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Es handelt sich hierbei um eine Bernoulli-Kette. Der Erwartungswert einer Bernoulli-Kette beträgt $n \cdot p$ . Hier ist $n = 15$ und $p$ die Wahrscheinlichkeit:
1) p bei einem einzelnen Wurf eine 3 zu werfen liegt bei $\frac{1}{6}$ .
$\Rightarrow E (X) = 15 \cdot \frac{1}{6} = \frac{15}{6} = 2,5$
2) p bei einem einzelnen Wurf mindestens eine 4 zu werfen liegt bei $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .
$\Rightarrow E (X) = 15 \cdot \frac{1}{2} = \frac{15}{2} = 7,5$
3) p bei einem einzelnen Wurf höchstens eine 4 zu werfen liegt bei $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ .
$\Rightarrow E (X) = 15 \cdot \frac{2}{3} = \frac{30}{3} = 10$
4) Um einen Erwartungswert von $12,5$ zu erhalten, benötigt man die
Wahrscheinlichkeit p von einem einzelnen Wurf:
$\Rightarrow p = \frac{E (X)}{X} = \frac{12,5}{15} = \frac{5}{6}$
Nun benötigen wir ein Ereignis, welches in $\frac{5}{6}$ der Fälle eintritt.
In unserem Beispiel wäre das, dass man höchstens eine 5 würfelt

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$E (X)$	$=$	$\sum_{k \in Ω} k \cdot P (X = k)$
	↓	Setze die Werte ein.
	$=$	$1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6}$
	↓	Klammere aus und vereinfache.
	$=$	$\frac{1}{6} \cdot (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)$
	$=$	$\frac{1}{6} \cdot 21$
	$=$	$3,5$