Stochastik, Teil A, Aufgabengruppe 1

$B(n;p;k)$ misst die Wahrscheinlichkeit von genau $k$ Treffern einer Bernoullikette der Länge $n$ mit der Trefferwahrscheinlichkeit $p$.

Zu jeweils $k$ Treffern gehören $n-k$ Nieten mit der Nietenwahrscheinlichkeit $q=1-p$.

Die Wahrscheinlichkeit für jedes $k\in \{0;1;2;\dots ;n\}$ genau $n-k$ Nieten zu erhalten ist aber gleich $B(n;q;n-k)$.

Unnötig umständlich und zeitraubend kannst du die Behauptung auch wie folgt rechnerisch begründen:

Beginne mit der Berechnung der Wahrscheinlichkeit für genau $n-k$ "Treffern" bei der "Treffer"-wahrscheinlichkeit $1-p$.

$\begin{array}{rcl}B(n;1-p;n-k)& =& \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{n-k}\right)\cdot (1-p{)}^{n-k}\cdot [1-(1-p){]}^{n-(n-k)}\\ & =& \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{n-k}\right)\cdot (1-p{)}^{n-k}\cdot p^k\\ & =& \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{n-k}\right)\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}\\ & =& \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}\\ & =& B(n;p;k)\end{array}$

Die Symmetrieeigenschaft der Binomialkoeffizienten zeigst du so:

$${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)={\displaystyle \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}}}$$

$${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{n-k}\right)=\frac{n!}{(n-k)!\cdot [n-(n-k)]!}=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)}$$