Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

Im Zusammenhang mit einer gegebenen gebrochen-rationalen Funktion ist ein Flächenstück zu berechnen.

Lösung Teilaufgabe a)

In dieser Teilaufgabe sind die beiden Funktionen

$f:x\mapsto 1-\frac{1}{x^2}$ und

$g:x\mapsto -3$

zu schneiden.

Setze die beiden Funktionsterme gleich und löse die Gleichung.

$$\begin{array}{rcll}{\displaystyle 1-\frac{1}{x^2}}& =& -3& |\cdot x^2\\ x^2-1& =& -3x^2& |+3x^2+1\\ 4x^2& =& 1& |:4\\ x^2& =& {\displaystyle \frac{1}{4}}& |\sqrt{}\\ x_1& =& {\displaystyle +\frac{1}{2}}& \\ x_2& =& -{\displaystyle \frac{1}{2}}& \end{array}$$

Einer der beiden Schnittpunkte der Graphen von $f$ und $g$ ist der Punkt $S(\mathrm{0,5}|-3)$.

Lösung Teilaufgabe b)

Die Teilaufgabe verlangt eine Flächenberechnung.

Schraffiere zunächst die zu berechnende Fläche in einer Skizze.

Achtung:

Gemeint ist eine Fläche, deren Rand allein aus Teilen des Graphen von $f$, aus Teilen der x-Achse und Teilen des Graphen von $g$ besteht.

Die Fläche $A^{\prime }$ ist deshalb nicht die richtige Fläche, da ihr Rand einen Teil der y-Achse enthält.

Dennoch ist $A^{\prime }$ hilfreich zur Berechnung der Fläche $A$, da - wegen der Symmetrie des Graphen von $f$ zur y-Achse - gilt: $A=2\cdot A^{\prime }$.

So berechnest du die Fläche $A^{\prime }$:

$$\begin{array}{rcl}{A}^{\prime }& =& {\text{Rechteck}}_{ABCD}+|{\displaystyle {\int }_{\mathrm{0,5}}^{1}f(x)\mathrm{dx}|}\\ & =& \mathrm{0,5}\cdot 3+|{\displaystyle {\int }_{\mathrm{0,5}}^1(1-\frac{1}{x^2})\mathrm{dx}|}\end{array}$$

$\begin{array}{rcl}{A}^{\prime }& =& \mathrm{1,5}+|[x+x^{-1}{]}_{\mathrm{0,5}}^1|\\ & =& \mathrm{1,5}+|(1+1)-(\mathrm{0,5}+2)|\\ & =& \mathrm{1,5}+\mathrm{0,5}\\ A^{\prime }& =& 2\end{array}$

Damit gilt für die gesuchte Fläche der Teilaufgabe:

$A=4$