Aufgaben zur Bestimmung von Wertebereichen

$f(x)=2\cdot x^2-3\cdot x+4$

Bringe die quadratische Funktion auf die Scheitelform.

$f(x)=2{(x-\frac{3}{4})}^2+2\cdot \frac{23}{16}$$\Rightarrow f(x)=2{(x-\frac{3}{4})}^2+\frac{23}{8}$

Lies den Scheitel und die Öffnungsrichtung ab.

$S\left(\frac{3}{4}|\frac{23}{8}\right)$, Parabel nach oben geöffnet

Gib die Wertemenge an.

$W_f=[\frac{23}{8};\infty [$

$f(x)=-x^2+8\cdot x-2$

Bringe die quadratische Funktion auf die Scheitelform.

$f(x)=-(x-4{)}^2+14$

Lese Scheitel und Öffnungsrichtung ab.

$S(4|14)$, Parabel nach unten geöffnet

Gebe die Wertemenge an.

$W_f=]-\infty ;14]$

Ganzrationale Funktionen dritten Grades haben keine Definitionslücken.

Außerdem gilt:

$\begin{array}{l}{\lim }_{x\to -\infty }f\left(x\right)=\infty \\ {\lim }_{x\to \infty }f\left(x\right)=-\infty \end{array}$

$\Rightarrow W_f=ℝ$

$f(x)=16\cdot \sin (x)+3$

Betrachte die Sinusfunktion. Der Sinus nimmt bekanntlich nur Werte zwischen -1 und 1 an.

$W_{\sin \left(x\right)}=[-1;1]$

$\Rightarrow W_{16\cdot \sin \left(x\right)}=[-16;16]$

$\Rightarrow W_f=[-13;19]$

$f(x)=2^x-3$

Betrachte $2^x$.

$2^x$ ist eine streng monoton steigende Exponentailfunktion, die nur Werte anninmmt, die größer als 0 sind.

Betrachte die Grenzwerte.

$${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\stackrel{\to 0}{\overbrace{2^x}}-3=-3}$$

$${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }\stackrel{\to \infty }{\overbrace{2^x}}-3\to \infty }$$

Gib nun den Wertebereich an.

$W_f=]-3;\infty [$

$f(x)=\frac{x-3}{\ln (x-3)}$

Bestimme den Definitionsbereich.

$D_f=]3;\infty [\backslash \{4\}$

Bestimme die Grenzwerte.

$${\displaystyle \underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{\stackrel{\to 0}{\overbrace{x-3}}}{\underset{\to -\infty }{\underbrace{\ln (x-3)}}}=0}$$

Für den zweiten Grenzwert nutzt du aus, das der Logarithmus immer langsamer wächst als jedes Polynom.

$${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\stackrel{\to \infty }{\overbrace{x-3}}}{\underset{\to \infty }{\underbrace{\ln (x-3)}}}=\infty }$$

$${\displaystyle \underset{x\to 4^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{\stackrel{\to 1}{\overbrace{x-3}}}{\underset{\to 0^{-}}{\underbrace{\ln (x-3)}}}=-\infty }$$

$${\displaystyle \underset{x\to 4^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 4^{+}}{\lim }\frac{\stackrel{\to 1}{\overbrace{x-3}}}{\underset{\to 0^{+}}{\underbrace{\ln (x-3)}}}=+\infty }$$

Bestimme jetzt die Extrema.

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{\ln (x-3)-\frac{x-3}{x-3}}{(\ln (x-3){)}^2}}$

$f^{\prime }(x)=0$

$\iff \ln (x-3)-1=0|+1$

$\iff \ln (x-3)=1|e$

$\iff x-3=e|+3$

$\iff x=e+3$

Bestimme jetzt den y-Wert.

$f(e+3)=e$

Da dies das einzige Extremum ist und die beiden Grenzwerte an den jeweiligen Definitionslücken rechts und links davon (also $4^{+}$und$\infty$) jeweils $\infty$ sind, ist das Extremum ein Minimum.

Gib jetzt den Wertebereich an.

$W_f=]-\infty ;0[\cup [e;\infty [$