Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Im Teil a) sind die Funktionen einer Funktionenschar zu erkennen und zu unterscheiden. Zu einer umkehrbaren Funktion der Schar ist graphisch die Umkehrfunktion zu zeichnen.

Im Teil b) ist eine umkehrbare Funktion mit vorgegebenen Eigenschaften anzugeben.

Die Aufgabe verlangt Verständnis für die Bedeutung des Scharparameters in einer Funktionenschar und Kenntnisse zur Umkehrbarkeit von Funktionen.

Lösung Teilaufgabe a)

Die Funktionenschar besteht wegen $k\in {\mathrm{R}}^{+}$ aus unendlich vielen Graphen mit dem Funktionsterm $cosx$, die alle bei $x=0$ beginnen und für jedes gewählte $k$ bei $x=k$ enden, da gilt $D_k=[0;k]$.

Die Graphen sind also Kosinusgraphen unterschiedlicher Länge.

Der größtmögliche Wert für $k$, damit $h_k$ umkehrbar ist, ist $k=\pi$.

Begründung:

Alle $h_k$ mit $0<k\le \pi$ sind monton fallend und damit umkehrbar.

Lösung Teilaufgabe b)

Eine streng monotone in $\mathrm{R}$ definierte Funktion $j$ nimmt sicher keine Wert mehr als einmal an, daher ist es eine gute Idee, bei der Suche nach Beispielen damit zu beginnen.

Damit der Graph von $j$ und der Graph ihrer Umkehrfunktion $j^{-1}$ keinen Punkt gemeinsam haben, darf der Graph von $j$ mit der Winkelhalbierenden $w:x\mapsto x$ keinen Punkt gemeinsam haben.

Beispiele sind:

• Eine lineare Funktion: $j:x\mapsto x+c;c\ne 0$ mit $D=\mathrm{R}$

• Die e-Funktion: $j:x\mapsto e^x$ mit $D=\mathrm{R}$. Hierbei ist der Definitionsbereich der Umkehrfunktion allerdings nicht $\mathrm{R}$, sonden nur das Intervall $(0,\infty )$.