Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Bilde die 1. Ableitung der Funktion $f$.

Zur Berechnng der Ableitung kannst du die Quotientenregel benutzen.

Gegeben ist:$$f(x)={\displaystyle \frac{e^{2x}}{x}\Rightarrow }$$

$$\begin{array}{rcll}{f}^{\prime }(x)& =& {\displaystyle \underset{\text{Quotientenregel}}{\underbrace{\frac{\stackrel{\text{Kettenregel}}{\overbrace{2\cdot e^{2x}}}\cdot x-1\cdot e^{2x}}{x^2}}}}& |e^{2x}\text{ausklammern}\\ & =& {\displaystyle \frac{e^{2x}(2x-1)}{x^2}}& \end{array}$$

Setze $f^{\prime }(x)$ gleich Null und löse die Gleichung:

$$\begin{array}{rcll}{\displaystyle \frac{e^{2x}(2x-1)}{x^2}}& =& 0& |\cdot x^2\\ \underset{>0}{\underbrace{e^{2x}}}(2x-1)& =& 0& |:e^{2x}\\ 2x-1& =& 0& \\ x& =& \mathrm{0,5}& \end{array}$$

Setze $x=\mathrm{0,5}$ in $f(x)$ ein, um die 2. Koordinate des möglichen Extremums zu erhalten:

$$f(\mathrm{0,5})={\displaystyle \frac{e^{2\cdot \mathrm{0,5}}}{\mathrm{0,5}}=\frac{e}{\mathrm{0,5}}=2e}$$

Der Punkt $M(\mathrm{0,5}|2e)$ ist ein mögliches lokales Extremum.

Art des Extremums

Für das Vorliegen eines lokalen Extremums ist die Bedingung, dass die 1. Ableitung Null ist notwendig, aber nicht hinreichend.

Ob $M(\mathrm{0,5}|2e)$ ein lokales Maximum, ein lokales Minimum oder aber ein Wendepunkt mit horizontaler Tangente ist, bestimmst du indem du entweder zeigst, dass

a) die 2. Ableitung für $x=\mathrm{0,5}$ ungleich Null ist oder

b) die 1. Ableitung bei $x=\mathrm{0,5}$ ihr Vorzeichen wechselt, d.h. die Funktionswerte links und rechts von $x=\mathrm{0,5}$ verschiedene Vorzeichen haben.

Berechnung der 2. Ableitung

$$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{e^{2x}(2x-1)}{x^2}\Rightarrow }$$

$$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime \prime }(x)& =& {\displaystyle \stackrel{\text{Quotientenregel}}{\overbrace{\frac{\stackrel{\text{Produktregel}}{\overbrace{[2e^{2x}(2x-1)+e^{2x}\cdot 2]}}\cdot x^2-2x{e}^{2x}(2x-1)}{x^4}}}}\\ & =& {\displaystyle \frac{x\cdot e^{2x}[(4x-2+2)\cdot x-4x+2]}{x^4}}\\ & =& {\displaystyle \frac{x\cdot e^{2x}(4x^2-4x+2)}{x^4}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2e^{2x}(2x^2-2x+1)}{x^3}}\end{array}$$

Setze $x=\mathrm{0,5}$ in $f^{\prime \prime }(x)$ ein:

$$f^{\prime \prime }(\mathrm{0,5})={\displaystyle \frac{2\cdot e^1\cdot \mathrm{0,5}}{{\mathrm{0,5}}^3}=8e>0}$$

Daraus folgt, dass $M(\mathrm{0,5}|2e)$ das lokale Minimum der Funktion $f$ ist.

Betrachtung des Vorzeichenwechsels der 1. Ableitung als alternativer Nachweis für die Extremwerteigenschaft des Punktes $M$:

Der Nachweis, dass die Funktionswerte einer Funktion links bzw. rechts einer bestimmten Stelle $x_0$ verschiedenes Vorzeichen haben, ist bei Summentermen in der Regel nicht ohne weiteres möglich.

Ist der Funktionsterm aber ein Produkt, so liest du einen eventuellen Vorzeichenwechsel mühelos aus den Vorzeichen der einzelnen Faktoren ab.

Der Funktionsterm der Funktion $f^{\prime }$ ist das Produkt von drei Faktoren:

$f^{\prime }(x)=\underset{\text{1. Faktor}}{\underbrace{e^{2x}}}\cdot \underset{\text{2. Faktor}}{\underbrace{(2x-1)}}\cdot \underset{\text{3. Faktor}}{\underbrace{x^{-2}}}$

Daraus liest du den Vorzeichenwechsel von $f^{\prime }$ ab:

Der 1. und der 3. Faktor sind "vorzeichenstabil". Sie sind sowohl für kleinere x-Werte als 0,5 wie auch für größere stets positiv.

Der 2. Faktor aber ist für $x<\mathrm{0,5}$ negativ und für $x>\mathrm{0,5}$ positiv.

Damit wechseln die Funktionswerte von $f^{\prime }$ - als Produktwerte - beim Durchgang von links nach rechts bei $x=\mathrm{0,5}$ ihr Vorzeichen von minus nach plus.

Für $x=\mathrm{0,5}$ ergibt sich also ein lokales Minimum.