Mathe Geometrie Analytische Geometrie Kreise und Kugeln Aufgaben zur Kreisgleichung

Aufgaben zur Kreisgleichung

In der Ebene sei der Kreis $K$ gegeben durch die Gleichung $y^{2} = 8 \cdot x - x^{2}$ .

Bestimme die Gleichung der Tangente an den Punkt $P (3 | \sqrt{15})$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis und Kugel

1) Forme die gegebene Kreisgleichung so um, dass der Mittelpunkt $M$ des Kreises abgelesen werden kann.

y^{2} = 8 x - x^{2} \Rightarrow x^{2} - 8 x + y^{2} = 0

Die beiden Terme, die die Koordinate $x$ enthalten, kannst Du mit Hilfe der quadratischen Ergänzung so schreiben, dass eine binomische Formel entsteht. Für $y$ gibt es nur das quadratische Glied, so dass Du hier die Koordinate $0$ einsetzen kannst:

x^{2} - 8 x + (\frac{8}{2})^{2} - (\frac{8}{2})^{2} + (y - 0)^{2} = 0 \Rightarrow

x^{2} - 8 x + 16 - 16 + (y - 0)^{2} = 0 \Rightarrow (x - 4)^{2} + (y - 0)^{2} = 16

Du hast die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt $M (4 | 0)$ und dem Radius $r = 4$ erhalten.

2) Der Richtungsvektor $\vec{u}$ der Tangente steht senkrecht auf dem Vektor $\vec{M P}$ . Mit Hilfe der Gleichung $\vec{M P} \circ \vec{u} = 0$ kannst Du den Richtungsvektor der Tangente bestimmen.

$\vec{M P} = (\begin{array}{c} 3 - 4 \\ \sqrt{15} - 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ \sqrt{15} \end{array}) \Rightarrow \vec{M P} \circ \vec{u} = 0 \Rightarrow (\begin{array}{c} - 1 \\ \sqrt{15} \end{array}) \circ (\begin{array}{c} \sqrt{15} \\ 1 \end{array}) = 0$

Also ist der Richtungsvektor der Tangente:

\vec{u} = (\begin{array}{c} \sqrt{15} \\ 1 \end{array})

3) Die Geradengleichung der Tangente wird mit dem Stützvektor $\vec{P}$ und dem Richtungsvektor $\vec{u}$ gebildet.

g_{T} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ \sqrt{15} \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} \sqrt{15} \\ 1 \end{array})

Antwort: Das ist die gesucht Tangentengleichung im Punkt $P$ .

1) Forme die gegebene Kreisgleichung so um, dass der Mittelpunkt $M$ des Kreises abgelesen werden kann.

2) Der Richtungsvektor $\vec{u}$ der Tangente steht senkrecht auf dem Vektor $\vec{M P}$ .

Mit Hilfe der Gleichung $\vec{M P} \circ \vec{u} = 0$ kannst Du den Richtungsvektor der Tangente bestimmen.

3) Die Geradengleichung der Tangente wird mit dem Stützvektor $\vec{P}$ und dem Richtungsvektor $\vec{u}$ gebildet.

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