Aufgaben zur Flächenberechnung

Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms, das durch folgende Punkte gegeben ist. Runde das Ergebnis wenn nötig bis auf zwei Nachkommastellen.

durch die Punkte $A (0 | 0 | 0)$ , $B (0 | 6 | 2)$ , $C (0 | 2 | 6)$ , $D (0 | 8 | 8)$ gegeben ist.
FE

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung in der analytischen Geometrie
Berechne zuerst die Vektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ .
Der Punkt $D$ wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 2 \end{array})$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 6 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 6 \end{array})$
Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein: $A_{Parallelogramm} = | \vec{AB} \times \vec{AC} |$ .
$A = | (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 2 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 6 \end{array}) |$
Berechne nun das Kreuzprodukt und danach den Betrag des Vektors.
$\begin{array}{l} A = | (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 2 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 6 \end{array}) | \\ = | (\begin{array}{c} 32 \\ 0 \\ 0 \end{array}) | \\ = \sqrt{32^{2} + 0^{2} + 0^{2}} \\ = 32 \end{array}$
durch die Punkte $A (4 | - 3 | 3)$ , $B (1 | - 3 | 0)$ , $C (5 | - 1 | 5)$ , $D (2 | - 1 | 2)$ gegeben ist.
FE

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung in der analytischen Geometrie
Berechne zuerst die Vektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ .
Der Punkt $D$ wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ - 3 \end{array})$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 5 \\ - 1 \\ 5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$
Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein: $A_{Parallelogramm} = | \vec{AB} \times \vec{AC} |$ .
$A = | (\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ - 3 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) |$
Berechne nun das Kreuzprodukt und danach den Betrag des Vektors.
$\begin{array}{l} A = | (\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ - 3 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) | \\ = | (\begin{array}{c} - 6 \\ - 3 \\ 6 \end{array}) | \\ = \sqrt{{(- 6)}^{2} + {(- 3)}^{2} + 6^{2}} \\ = \sqrt{36 + 9 + 36} \\ = \sqrt{81} \\ = 9 \end{array}$
durch die Punkte $A (2 | - 1 | 2)$ , $B (0 | 1 | 1)$ , $C (2 | 2 | 4)$ , $D (0 | 4 | 3)$ gegeben ist.
FE

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung in der analytischen Geometrie
Berechne zuerst die Vektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ .
Der Punkt $D$ wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 2 \end{array})$
Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein: $A_{Parallelogramm} = | \vec{AB} \times \vec{AC} |$ .
$A = | (\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 2 \end{array}) |$
Berechne nun das Kreuzprodukt und danach den Betrag des Vektors.
$\begin{array}{l} A = | (\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 2 \end{array}) | \\ = | (\begin{array}{c} 7 \\ 4 \\ - 6 \end{array}) | \\ = \sqrt{7^{2} + 4^{2} + {(- 6)}^{2}} \\ = \sqrt{49 + 16 + 36} \\ = \sqrt{101} \\ \approx 10,05 \end{array}$
durch die Punkte $A (- 4 | - 2 | 1)$ , $B (- 1 | 2 | 6)$ , $C (- 6 | - 3 | 3)$ , $D (- 3 | 1 | 8)$ gegeben ist.
FE

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung in der analytischen Geometrie
Berechne zuerst die Vektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ .
Der Punkt $D$ wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 6 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 4 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 5 \end{array})$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} - 6 \\ - 3 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 4 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 2 \end{array})$
Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein: $A_{Parallelogramm} = | \vec{AB} \times \vec{AC} |$ .
$A = | (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 5 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) |$
Berechne nun das Kreuzprodukt und danach den Betrag des Vektors.
$\begin{array}{l} A = | (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 5 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) | \\ = | (\begin{array}{c} 13 \\ - 16 \\ 5 \end{array}) | \\ = \sqrt{13^{2} + {(- 16)}^{2} + 5^{2}} \\ = \sqrt{169 + 256 + 25} \\ = \sqrt{450} \\ = 15 \sqrt{2} \\ = 21,21 \end{array}$

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