Aufgaben zu Extremwertproblemen aus der Geometrie

Für die Form eines romanischen Fensters (Rechteck mit oben angefügtem Halbkreis) soll bei gegebenem Umfang die größtmögliche Fläche berechnet werden.

Der gegebene Umfang $u=5LE$ ist für die Zielfunktion die "Nebenbedingung".

$\begin{array}{rcll}2a+b+{\displaystyle \frac{1}{2}}b\pi & =& 5& |\text{b ausklammern}\\ 2a+b(1+{\displaystyle \frac{1}{2}}\pi )& =& 5& |-b(\dots )\\ 2a& =& 5-b(1+{\displaystyle \frac{1}{2}}\pi )& |:2\\ a& =& \mathrm{2,5}-{\displaystyle \frac{1}{2}}b(1+{\displaystyle \frac{1}{2}}\pi )& \text{Setze a in A(a;b) ein.}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}A(b)& =& (\mathrm{2,5}-{\displaystyle \frac{1}{2}}b(1+{\displaystyle \frac{1}{2}}\pi ))\cdot b+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot ({\displaystyle \frac{b}{2}}{)}^2\pi \\ & =& \mathrm{2,5}b-{\displaystyle \frac{1}{2}}{b}^2(1+{\displaystyle \frac{1}{2}}\pi )+{\displaystyle \frac{1}{8}}{b}^2\pi & |\text{D-Gesetz für}{\displaystyle \frac{1}{2}}{b}^2(1+{\displaystyle \frac{1}{2}}\pi )\\ & =& \mathrm{2,5}b-{\displaystyle \frac{1}{2}}{b}^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}{b}^2\pi +{\displaystyle \frac{1}{8}}{b}^2\pi & |b^2\text{zusammenfassen}\\ & =& \mathrm{2,5}b-b^2({\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}\pi -{\displaystyle \frac{1}{8}}\pi )& |\text{zusammenfassen}\\ A(b)& =& \mathrm{2,5}b-({\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}\pi )b^2& |\text{Berechne A’(b) und A”(b)}.\end{array}$

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{2,5}-b(1+{\displaystyle \frac{1}{4}}\pi )& =& 0\\ {\displaystyle b\cdot {\displaystyle \frac{4+\pi }{4}}}& =& \mathrm{2,5}& |:{\displaystyle {\displaystyle \frac{4+\pi }{4}}}\\ b_{max}& =& {\displaystyle {\displaystyle \frac{10}{4+\pi }}}& \Rightarrow \end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}{a}_{max}& =& {\displaystyle \mathrm{2,5}-{\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{10}{4+\pi }})(1+{\displaystyle \frac{1}{2}}\pi )}\\ & =& {\displaystyle \mathrm{2,5}-{\displaystyle \frac{5}{4+\pi }}\cdot {\displaystyle \frac{2+\pi }{2}}}\\ & =& {\displaystyle \mathrm{2,5}-\mathrm{2,5}\cdot {\displaystyle \frac{2+\pi }{4+\pi }}}\\ & =& {\displaystyle {\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}\cdot (4+\pi )-\mathrm{2,5}\cdot (2+\pi )}{4+\pi }}}\\ a_{max}& =& {\displaystyle {\displaystyle \frac{5}{4+\pi }}}\end{array}$$

Setze $b_{max}$ und $a_{max}$ in $A(a;b)$ ein, um die maximale Fläche des romanischen Fensters mit dem Umfang $5LE$ zu erhalten.

(Du kannst auch $b_{max}$ alleine in $A(b)$ einsetzen.)

$$\begin{array}{rcl}{A}_{max}& =& {\displaystyle {\displaystyle \frac{5}{4+\pi }}\cdot {\displaystyle \frac{10}{4+\pi }}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\left({\displaystyle \frac{5}{4+\pi }}\right)}^2\cdot \pi }\\ & =& {\displaystyle {\displaystyle \frac{50}{(4+\pi {)}^2}}+{\displaystyle \frac{25\pi }{2\cdot (4+\pi {)}^2}}}\\ & =& {\displaystyle {\displaystyle \frac{100+25\pi }{2(4+\pi {)}^2}}}\\ & =& {\displaystyle {\displaystyle \frac{25(4+\pi )}{2(4+\pi {)}^2}}}\\ A_{max}& =& {\displaystyle {\displaystyle \frac{\mathrm{12,5}}{4+\pi }}}\\ A_{max}& \approx & \mathrm{1,75}\end{array}$$

Ergebnis:

Das romanische Fenster mit dem Umfang $5LE$ hat seine größte Fläche von rund $\mathrm{1,75}FE$, wenn die Grundseite gerade doppelt so groß ist wie die Höhe des Rechtecks.

Anhand des beigefügten Applets kannst du durch Verschieben des unteren rechten Eckpunkts das Ergebnis überprüfen.