Aufgaben zu Extremwerten

Gegeben: Gesamtkantenlänge einer quadratischen Säule 

Gesucht: Kantenlängen für maximales Volumen

$V=a^2\cdot h$

Stelle die Zielfunktion auf, die maximiert werden soll; in diesem Fall ist das das Volumen einer quadratischen Säule mit der Grundseitenlänge $a$ und der Höhe $h$.

$4\cdot a+4\cdot h+4\cdot a=36$

Bestimme die Nebenbedingung, die durch die Gesamtkantenlänge gegeben ist.

$h=9-2a$

Stelle die Nebenbedingung nach $h$ um.

$V(a)=a^2\cdot (9-2a)$  mit  $a>0$

Setze die Nebenbedingung in die Zielfunktion ein, um die Extremalfunktion zu erhalten. Beachte dabei, dass a positiv sein muss. Leite die Extremfunktion zweimal ab.

$\begin{array}{ccc}{V}^{\prime }(a)& =& 18a-6a^2\\ V^{\prime \prime }(a)& =& 18-12a\end{array}$

Setze die erste Ableitung gleich Null, berechne die Grundseitenlänge und setze ihn in die zweite Ableitung ein, um zu erkennen, dass es sich tatsächlich um ein Maximum handelt.

$V^{\prime }(a)=18a-6a^2=a(18-3a)=0$

$a=0$ oder $a=3$

$a=0$ muss nicht weiter untersucht werden, da nur positive Grundseitenlängen betrachtet werden.

$\begin{array}{l}{V}^{\prime \prime }(3)=18-12\cdot 3=-18<0\end{array}$

Da die zweite Ableitung negativ ist, handelt es sich bei $a=3$ um das gesuchte Maximum.

Gib nun endgültig $a$ und $h$ an und berechne das Volumen (nicht verlangt).

$a=3\Rightarrow h=3\Rightarrow V=27$