Aufgaben zur Flächenberechnung

Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms, das

durch die Punkte $A (0 | 0)$ , $B (4 | 1)$ , $C (1 | 4)$ , $D (5 | 5)$ gegeben ist.
FE

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Parallelogramms (im Zweidimensionalen)
Berechne zuerst die Vektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ .
Der Punkt $D$ wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array})$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \end{array})$
Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein: $A_{Parallelogramm} = | \det (\vec{AB}, \vec{AC}) |$ .
$A = | \det (\begin{array}{cc} 4 & 1 \\ 1 & 4 \end{array}) |$
Berechne die $2 \times 2 - Matrix$ mit Hilfe der Formel $\det (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}) = ad - bc$ .
$= | 16 - 1 | = | 15 | = 15$
durch die Punkte $A (- 1 | - 1)$ , $B (6 | - 1)$ , $C (- 1 | 6)$ , $D (6 | 6)$ gegeben ist.
FE

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Parallelogramms (im Zweidimensionalen)
Berechne zuerst die Vektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ .
Der Punkt $D$ wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 6 \\ - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 7 \\ 0 \end{array})$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 6 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 7 \end{array})$
Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein: $A_{Parallelogramm} = | \det (\vec{AB}, \vec{AC}) |$ .
$A = | \det (\begin{array}{cc} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{array}) |$
Benutze die Eigenschaften der Determinante einer Diagonalmatrix .
$= | 7 \cdot 7 | = | 49 | = 49$
durch die Punkte $A (- 7 | - 3)$ , $B (- 2 | 1)$ , $C (- 5 | 4)$ , $D (0 | 6)$ gegeben ist.
FE

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Parallelogramms (im Zweidimensionalen)
Berechne zuerst die Vektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ .
Der Punkt $D$ wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 7 \\ - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array})$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} - 5 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 7 \\ - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 7 \end{array})$
Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein: $A_{Parallelogramm} = | \det (\vec{AB}, \vec{AC}) |$ .
$A = | \det (\begin{array}{cc} 5 & 2 \\ 2 & 7 \end{array}) |$
Berechne die $2 \times 2 - Matrix$ mit Hilfe der Formel $\det (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}) = ad - bc$ .
$= | 35 - 4 | = | 31 | = 31$
durch die Punkte $A (- 4 | - 1)$ , $B (2 | - 1)$ , $C (- 1 | 1)$ , $D (5 | 1)$ gegeben ist.
FE

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Parallelogramms (im Zweidimensionalen)
Berechne zuerst die Vektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ .
Der Punkt $D$ wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.
$\begin{array}{l} \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 4 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \end{array}) \end{array}$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 4 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array})$
Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein: $A_{Parallelogramm} = | \det (\vec{AB}, \vec{AC}) |$ .
$A = | \det (\begin{array}{cc} 6 & 3 \\ 0 & 2 \end{array}) |$
Benutze die Eigenschaften der Determinante einer unteren Dreiecksmatrix .
$= | 12 | = 12$
durch die Punkte $A (0 | - 17)$ , $B (10 | - 3)$ , $C (- 12 | - 5)$ , $D (- 2 | 9)$ gegeben ist.
FE

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Parallelogramms (im Zweidimensionalen)
Berechne zuerst die Vektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ .
Der Punkt $D$ wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 10 \\ - 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ - 17 \end{array}) = (\begin{array}{c} 10 \\ 14 \end{array})$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} - 12 \\ - 5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ - 17 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 12 \\ 12 \end{array})$
Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein: $A_{Parallelogramm} = | \det (\vec{AB}, \vec{AC}) |$ .
$A = | \det (\begin{array}{cc} 10 & - 12 \\ 14 & 12 \end{array}) |$
Berechne die $2 \times 2 - Matrizen$ mit Hilfe der Formel $\det (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}) = ad - bc$ .
$= | 120 + 168 | = | 288 | = 288$
den Punkt $A (- 4 | - 6)$ und die Vektoren $\vec{AB} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 5 \end{array})$ und $\vec{AC} = (\begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array})$ aufgespannt wird.
FE

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Parallelogramms (im Zweidimensionalen)
Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein: $A_{Parallelogramm} = | \det (\vec{AB}, \vec{AC}) |$ .
$A = | \det (\begin{array}{cc} - 3 & 4 \\ 5 & 2 \end{array}) |$
Berechne die $2 \times 2 - Matrix$ mit Hilfe der Formel $\det (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}) = ad - bc$ .
$= | - 6 - 20 | = | - 26 | = 26$
den Punkt $B (2 | 3)$ und die Vektoren $\vec{BA} = (\begin{array}{c} - 4 \\ 1 \end{array})$ und $\vec{BC} = (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array})$ aufgespannt wird.
FE

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Parallelogramms (im Zweidimensionalen)
Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein: $A_{Parallelogramm} = | \det (\vec{BA}, \vec{BC}) |$ .
$A = | \det (\begin{array}{cc} - 4 & 4 \\ 1 & 1 \end{array}) |$
Berechne die $2 \times 2 - Matrix$ mit Hilfe der Formel $\det (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}) = ad - bc$ .
$= | - 4 - 4 | = | - 8 | = 8$

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