Aufgaben zur Symmetrie von Graphen

Untersuche die Funktionen auf Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse bzw. Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs (Nullpunkt des Koordinatensystems):

$f (x) = x^{11} - x^{5} + 2 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung
Die Exponenten zur Basis $x$ sind hier: $11$ , $5$ und $1$ . Es sind also alle Exponenten zur Basis $x$ ungerade.
$\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
Durch Berechnung
$f (x) = x^{11} - x^{5} + 2 x$
Setzte $- x$ in $f (x)$ ein.
$f (- x) = (- x)^{11} - (- x)^{5} + 2 (- x)$
$= - x^{11} + x^{5} - 2 x$
$= - (x^{11} - x^{5} + 2 x) = - f (x)$
$\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
$- f (x) = - (x^{11} - x^{5} + 2 x)$
$= - x^{11} + x^{5} - 2 x$
$- f (x) \neq f (x)$
$\Rightarrow$ Keine Symmetrie bezüglich der y-Achse.
$f (x) = x^{6} - 9 x^{4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung und durch Berechnung überprüft.
Durch Betrachtung
Die Exponenten zur Basis $x$ sind hier: $6$ und $4$ .
Sie sind also alle gerade.
$\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur $y$ -Achse.
Durch Berechnung
Setzte $- x$ in $f (x)$ ein.
$f (x) = x^{6} - 9 x^{4}$
$f (- x) = (- x)^{6} - 9 (- x)^{4}$
$= x^{6} - 9 x^{4} = f (x)$
$\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der $y$ -Achse.
$- f (x) = - (x^{6} - 9 x^{4}) =$
$= - x^{6} + 9 x^{4}$
$- f (x) \neq f (- x)$
$\Rightarrow$ Keine Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
$f (x) = \frac{x^{4} + 1}{x (x^{3} - 3 x)}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Berechnung überprüft.
Forme erst die Funktion um:
$f (x) = \frac{x^{4} + 1}{x (x^{3} - 3 x)}$
$= \frac{x^{4} + 1}{x^{4} - 3 x^{2}}$
Setze $- x$ in $f (x)$ ein.
$f (- x) = \frac{(- x)^{4} + 1}{(- x)^{4} - 3 (- x)^{2}}$
$= \frac{x^{4} + 1}{x^{4} - 3 x^{2}} = f (x)$
$f (- x) = f (x)$
$\Rightarrow$ Achsensymmetrisch bezüglich der $y$ -Achse.
$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x (x^{2} - 3 x)}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Berechnung überprüft.
Forme zunächst die Funktion um:
$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x (x^{2} - 3 x)}$
$= \frac{x^{2} - 1}{x^{3} - 3 x^{2}}$
Setzte $- x$ in $f (x)$ ein.
$f (- x) = \frac{(- x)^{2} - 1}{(- x)^{3} - 3 (- x)^{2}}$
$= \frac{x^{2} - 1}{- x^{3} - 3 x^{2}}$
$f (- x) \neq f (x)$
$\Rightarrow$ Nicht achsensymmetrisch zur $y$ -Achse
$f (- x) \neq - f (x)$
$\Rightarrow$ Nicht punktsymmetrisch zum Ursprung

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CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl → Was bedeutet das? serlo.org

Aufgaben zur Symmetrie von Graphen

Durch Betrachtung

Durch Berechnung

Durch Betrachtung

Durch Berechnung