Weitere Aufgaben zu Extremwertproblemen

Zielfunktion:

Abstand der beiden Punkte $T$ und $P$.

Nebenbedingung:

Der Punkt $P$ liegt auf der Parabel.

Gib die Zielfunktion an. Benutze dazu den Satz des Pythagoras.

Gib die Funktionsgleichung der Nebenbedingung an.

${\overline{TP}}^2=x_P^2+(\mathrm{3,5}-y_P{)}^2$

$\overline{TP}=\sqrt{x_P^2+(\mathrm{3,5}-y_P{)}^2}$

Beachte: Für alle Punkte, für die der Abstand minimal wird, wird auch das Quadrat des Abstandes minimal.Deshalb nimmt man ${\overline{TP}}^2$ als Zielfunktion.

Dies erleichtert die Rechnung.

Zielfunktion:

${\overline{TP}}^2=x_P^2+(\mathrm{3,5}-y_P{)}^2$

Nebenbedingung:

$y_P=\mathrm{0,5}{x}_P^2-2$

Setze die Nebenbedingung in die Zielfunktion ein.

${\overline{TP}}^2(x_P)=x_P^2+(\mathrm{3,5}-\mathrm{0,5}{x}_P^2+2{)}^2$

Fasse in der Klammer zusammen und quadriere mit der binomischen Formel.

${\overline{TP}}^2(x_P)=\mathrm{0,25}{x}_P^4-\mathrm{4,5}{x}_P^2+\mathrm{30,25}$

Bilde die Ableitung

${\overline{TP}}^2(x_P{)}^{\prime }=x_P^3-9x_P$

Setze die Ableitung gleich Null und löse die Gleichung.

$\begin{array}{ccc}{x}_P^3-9x_P& =& 0\\ x_P(x_P^2-9)& =& 0\\ x_{P1}& =& 0\\ x_{P2}& =& +3\\ x_{P3}& =& -3\end{array}$

Untersuche, für welche der Lösungen die 2. Ableitung positiv ist, damit jeweils ein Minmum vorliegt

$\begin{array}{lcc}{\overline{TP}}^2(x_P{)}^{\prime \prime }& =& 3x_P^2-9\\ {\overline{TP}}^2(0{)}^{\prime \prime }& =& -9\\ {\overline{TP}}^2(\pm 3{)}^{\prime \prime }& =& +18\end{array}$

$x_P=0$ ergibt ein lokales Maximum des Abstandsquadrats.

$x_p=-3$ und $x_P=+3$ liefern ein Minimum des Quadrat des Abstandes und damit auch ein Minimum des Abstands.

Gib die drei Punkte und den dazu gehörigen Abstand an.

Einsetzen der drei $x_P$-Werte in die Nebenbedingung:

$y(0)=-2$ $\Rightarrow$ $P_0(0|-2)$ $\text{und}$ $\overline{T{P}_0}=\sqrt{\mathrm{30,25}}=\mathrm{5,5}$

$y(\pm 3)=\mathrm{0,5}\cdot 9-2=\mathrm{2,5}$ $\Rightarrow$ $P_{2|3}(\pm 3|\mathrm{2,5})$ und $\overline{T{P}_{2/3}}=\sqrt{\mathrm{0,25}\cdot 81-\mathrm{4,5}\cdot 9+\mathrm{30,25}}=\sqrt{10}\approx \mathrm{3,16}$

Ergebnis:

Die beiden Punkte $P_1(-3|\mathrm{2,5})$ und $P_2(+3|\mathrm{2,5})$ haben von der Parabel mit rund $\mathrm{3,16}\text{LE}$ den geringsten Abstand.

Im nachfolgenden Applet kannst du dies überprüfen indem du den Punkt $P$ verschiebst.

Alternative Lösung

Bei dieser Lösung ermittelst du in Frage kommende Parabelpunkt über eine Betrachtung von Tangenten der Parabel.

Parabel: $p(x)=\mathrm{0,5}{x}^2-2$

Tangentensteigung:$p^{\prime }(x)=x$

Gib die Steigung $m$ von $[TP]$ an.

$${\displaystyle m_{[TP]}=\frac{y-\mathrm{3,5}}{x}=\frac{\mathrm{0,5}{x}^2-\mathrm{5,5}}{x}x\ne 0}$$

Lotbedingung ansetzen!

$\begin{array}{ccc}{m}_{[TP]}\cdot p^{\prime }(x)& =& -1x\ne 0\\ & & \\ {\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}{x}^2-\mathrm{5,5}}{x}}\cdot x& =& -1\\ & & \\ \mathrm{0,5}{x}^2-\mathrm{5,5}& =& -1\\ x^2& =& 9\\ x_{2/3}& =& \pm 3\end{array}$

Damit sind - auf anderem Weg - die x-Koordinaten der beiden Lösungspunkte der Extremumsaufgabe gefunden.

Zusatz:

Auch für den Punkt $P(0|-2)$ ("Maximumspunkt") steht die Tangente senkrecht auf der Verbindungsstrecke zu $T$.