Gemischte Aufgaben

Berechne die Spurpunkte der gegebenen Geraden.

$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + k \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte
Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene
Der Geradengleichung $g$ entnimmst du für $x_{3}$ die Gleichung: $x_{3} = 3 - 2 k$
Wird die $x_{1} x_{2}$ -Ebene geschnitten, so muss $x_{3} $ gleich Null sein: $x_{3} = 0 \Rightarrow$
$\begin{array}{rcl} 0 & = & 3 - 2 k & | + 2 k \\ 2 k & = & 3 & | : 2 \\ k & = & \frac{3}{2} \end{array}$
Das berechnete $k$ wird in die Geradengleichung $g$ eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + \frac{3}{2} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4,5 \\ 3,5 \\ 0 \end{array})$
Antwort: Der Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene hat die Koordinaten:
$S_{x_{1} x_{2}} (4,5 ∣ 3,5 ∣ 0)$
Spurpunkt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene
Der Geradengleichung $g$ entnimmst du für $x_{2}$ die Gleichung: $x_{2} = 2 + k$
Wird die $x_{1} x_{3}$ -Ebene geschnitten, so muss $x_{2} $ gleich Null sein: $x_{2} = 0 \Rightarrow$
$\begin{array}{rcl} 0 & = & 2 + k & | - 2 \\ k & = & - 2 \end{array}$
Das berechnete $k$ wird in die Geradengleichung $g$ eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + (- 2) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 7 \end{array})$
Antwort: Der Spurpunkt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene hat die Koordinaten:
$S_{x_{1} x_{3}} (1 ∣ 0 ∣ 7)$
Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene
Der Geradengleichung $g$ entnimmst du für $x_{1}$ die Gleichung: $x_{1} = 3 + k$
Wird die $x_{2} x_{3}$ -Ebene geschnitten, so muss $x_{1} $ gleich Null sein: $x_{1} = 0 \Rightarrow$
$\begin{array}{rcl} 0 & = & 3 + k & | - 3 \\ k & = & - 3 \end{array}$
Das berechnete $k$ wird in die Geradengleichung $g$ eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + (- 3) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 9 \end{array})$
Antwort: Der Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene hat die Koordinaten:
$S_{x_{2} x_{3}} (0 ∣ - 1 ∣ 9)$
Die Punkte, in denen die Gerade $g$ die Koordinatenebenen schneidet, heißen Spurpunkte. Berechne also jeweils den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit einer der drei Koordinatenebenen.
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) + k \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte
Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene
Der Geradengleichung $g$ entnimmst du für $x_{3}$ die Gleichung: $x_{3} = 0 + k$
Wird die $x_{1} x_{2}$ -Ebene geschnitten, so muss $x_{3} $ gleich Null sein: $x_{3} = 0 \Rightarrow$
$\begin{array}{rcl} 0 & = & 0 + k \\ k & = & 0 \end{array}$
Das berechnete $k$ wird in die Geradengleichung $g$ eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) + 0 \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array})$
Antwort: Der Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene hat die Koordinaten:
$S_{x_{1} x_{2}} (1 ∣ - 1 ∣ 0)$
Spurpunkt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene
Der Geradengleichung $g$ entnimmst du für $x_{2}$ die Gleichung: $x_{2} = - 1 + 3 k$
Wird die $x_{1} x_{3}$ -Ebene geschnitten, so muss $x_{2} $ gleich Null sein: $x_{2} = 0 \Rightarrow$
$\begin{array}{rcl} 0 & = & - 1 + 3 k & | + 1 \\ 1 & = & 3 k & | : 3 \\ k & = & \frac{1}{3} \end{array}$
Das berechnete $k$ wird in die Geradengleichung $g$ eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) + \frac{1}{3} \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{5}{3} \\ 0 \\ \frac{1}{3} \end{array})$
Antwort: Der Spurpunkt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene hat die Koordinaten:
$S_{x_{1} x_{3}} (\frac{5}{3} ∣ 0 ∣ \frac{1}{3})$
Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene
Der Geradengleichung $g$ entnimmst du für $x_{1}$ die Gleichung: $x_{1} = 1 + 2 k$
Wird die $x_{2} x_{3}$ -Ebene geschnitten, so muss $x_{1} $ gleich Null sein: $x_{1} = 0 \Rightarrow$
$\begin{array}{rcl} 0 & = & 1 + 2 k & | - 1 \\ - 1 & = & 2 k & | : 2 \\ k & = & - \frac{1}{2} \end{array}$
Das berechnete $k$ wird in die Geradengleichung $g$ eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) + (- \frac{1}{2}) \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ - \frac{5}{2} \\ - \frac{1}{2} \end{array})$
Antwort: Der Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene hat die Koordinaten:
$S_{x_{2} x_{3}} (0 ∣ - \frac{5}{2} ∣ - \frac{1}{2})$
Die Punkte, in denen die Gerade $g$ die Koordinatenebenen schneidet, heißen Spurpunkte. Berechne also jeweils den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit einer der drei Koordinatenebenen.
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ 1 \end{array}) + k \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte
Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene
Der Geradengleichung $g$ entnimmst du für $x_{3}$ die Gleichung: $x_{3} = 1 + 3 k$
Wird die $x_{1} x_{2}$ -Ebene geschnitten, so muss $x_{3} $ gleich Null sein: $x_{3} = 0 \Rightarrow$
$\begin{array}{rcl} 0 & = & 1 + 3 k & | - 3 k \\ - 3 k & = & 1 & | : (- 3) \\ k & = & - \frac{1}{3} \end{array}$
Das berechnete $k$ wird in die Geradengleichung $g$ eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ 1 \end{array}) + (- \frac{1}{3}) \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} - \frac{4}{3} \\ \frac{13}{3} \\ 0 \end{array})$
Antwort: Der Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene hat die Koordinaten:
$S_{x_{1} x_{2}} (- \frac{4}{3} ∣ \frac{13}{3} ∣ 0)$
Spurpunkt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene
Der Geradengleichung $g$ entnimmst du für $x_{2}$ die Gleichung: $x_{2} = 4 - k$
Wird die $x_{1} x_{3}$ -Ebene geschnitten, so muss $x_{2} $ gleich Null sein: $x_{2} = 0 \Rightarrow$
$\begin{array}{rcl} 0 & = & 4 - k & | + k \\ k & = & 4 \end{array}$
Das berechnete $k$ wird in die Geradengleichung $g$ eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ 1 \end{array}) + 4 \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 10 \\ 0 \\ 13 \end{array})$
Antwort: Der Spurpunkt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene hat die Koordinaten:
$S_{x_{1} x_{3}} (- 10 ∣ 0 ∣ 13)$
Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene
Der Geradengleichung $g$ entnimmst du für $x_{1}$ die Gleichung: $x_{1} = - 2 - 2 k$
Wird die $x_{2} x_{3}$ -Ebene geschnitten, so muss $x_{1} $ gleich Null sein: $x_{1} = 0 \Rightarrow$
$\begin{array}{rcl} 0 & = & - 2 - 2 k & | + 2 k \\ 2 k & = & - 2 & | : 2 \\ k & = & - 1 \end{array}$
Das berechnete $k$ wird in die Geradengleichung $g$ eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ 1 \end{array}) + (- 1) \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ - 2 \end{array})$
Antwort: Der Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene hat die Koordinaten:
$S_{x_{2} x_{3}} (0 ∣ 5 ∣ - 2)$
Die Punkte, in denen die Gerade $g$ die Koordinatenebenen schneidet, heißen Spurpunkte. Berechne also jeweils den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit einer der drei Koordinatenebenen.
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ - 5 \end{array}) + k \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 4 \\ 2 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte
Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene
Der Geradengleichung $g$ entnimmst du für $x_{3}$ die Gleichung: $x_{3} = - 5 + 2 k$
Wird die $x_{1} x_{2}$ -Ebene geschnitten, so muss $x_{3} $ gleich Null sein: $x_{3} = 0 \Rightarrow$
$\begin{array}{rcl} 0 & = & - 5 + 2 k & | - 2 k \\ - 2 k & = & - 5 & | : (- 2) \\ k & = & \frac{5}{2} \end{array}$
Das berechnete $k$ wird in die Geradengleichung $g$ eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ - 5 \end{array}) + \frac{5}{2} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 4 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6,5 \\ - 8 \\ 0 \end{array})$
Antwort: Der Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene hat die Koordinaten:
$S_{x_{1} x_{2}} (6,5 ∣ - 8 ∣ 0)$
Spurpunkt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene
Der Geradengleichung $g$ entnimmst du für $x_{2}$ die Gleichung: $x_{2} = 2 - 4 k$
Wird die $x_{1} x_{3}$ -Ebene geschnitten, so muss $x_{2} $ gleich Null sein: $x_{2} = 0 \Rightarrow$
$\begin{array}{rcl} 0 & = & 2 - 4 k & | + 4 k \\ 4 k & = & 2 & | : 4 \\ k & = & \frac{1}{2} \end{array}$
Das berechnete $k$ wird in die Geradengleichung $g$ eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ - 5 \end{array}) + (\frac{1}{2}) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 4 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4,5 \\ 0 \\ - 4 \end{array})$
Antwort: Der Spurpunkt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene hat die Koordinaten:
$S_{x_{1} x_{3}} (4,5 ∣ 0 ∣ - 4)$
Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene
Der Geradengleichung $g$ entnimmst du für $x_{1}$ die Gleichung: $x_{1} = 4 + k$
Wird die $x_{2} x_{3}$ -Ebene geschnitten, so muss $x_{1} $ gleich Null sein: $x_{1} = 0 \Rightarrow$
$\begin{array}{rcl} 0 & = & 4 + k & | - 4 \\ k & = & - 4 \end{array}$
Das berechnete $k$ wird in die Geradengleichung $g$ eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ - 5 \end{array}) + (- 4) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 4 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 18 \\ - 13 \end{array})$
Antwort: Der Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene hat die Koordinaten:
$S_{x_{2} x_{3}} (0 ∣ 18 ∣ - 13)$
Die Punkte, in denen die Gerade $g$ die Koordinatenebenen schneidet, heißen Spurpunkte. Berechne also jeweils den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit einer der drei Koordinatenebenen.
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \\ 5 \end{array}) + k \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte
Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene
Der Geradengleichung $g$ entnimmst du für $x_{3}$ die Gleichung: $x_{3} = 5 + 0 k = 5$
Wird die $x_{1} x_{2}$ -Ebene geschnitten, so muss $x_{3} $ gleich Null sein: $x_{3} = 0 \Rightarrow$
$0 = 5$
Das ist eine falsche Aussage.
Antwort: Es gibt keinen Schnittpunkt mit der $x_{1} x_{2}$ -Ebene. Die Gerade verläuft parallel zur $x_{1} x_{2}$ -Ebene.
Spurpunkt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene
Der Geradengleichung $g$ entnimmst du für $x_{2}$ die Gleichung: $x_{2} = 2 + k$
Wird die $x_{1} x_{3}$ -Ebene geschnitten, so muss $x_{2} $ gleich Null sein: $x_{2} = 0 \Rightarrow$
$\begin{array}{rcl} 0 & = & 2 + k & | - 2 \\ k & = & - 2 \end{array}$
Das berechnete $k$ wird in die Geradengleichung $g$ eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \\ 5 \end{array}) + (- 2) \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 7 \\ 0 \\ 5 \end{array})$
Antwort: Der Spurpunkt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene hat die Koordinaten:
$S_{x_{1} x_{3}} (- 7 ∣ 0 ∣ 5)$
Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene
Der Geradengleichung $g$ entnimmst du für $x_{1}$ die Gleichung: $x_{1} = - 3 + 2 k$
Wird die $x_{2} x_{3}$ -Ebene geschnitten, so muss $x_{1} $ gleich Null sein: $x_{1} = 0 \Rightarrow$
$\begin{array}{rcl} 0 & = & - 3 + 2 k & | + 3 \\ 3 & = & 2 k & | : 2 \\ k & = & \frac{3}{2} \end{array}$
Das berechnete $k$ wird in die Geradengleichung $g$ eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \\ 5 \end{array}) + \frac{3}{2} \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 3,5 \\ 5 \end{array})$
Antwort: Der Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene hat die Koordinaten:
$S_{x_{2} x_{3}} (0 ∣ 3,5 ∣ 5)$
Die Punkte, in denen die Gerade $g$ die Koordinatenebenen schneidet, heißen Spurpunkte. Berechne also jeweils den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit einer der drei Koordinatenebenen.
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + k \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte
Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene
Der Geradengleichung $g$ entnimmst du für $x_{3}$ die Gleichung: $x_{3} = 1 + k$
Wird die $x_{1} x_{2}$ -Ebene geschnitten, so muss $x_{3} $ gleich Null sein: $x_{3} = 0 \Rightarrow$
$\begin{array}{rcl} 0 & = & 1 + k & | - 1 \\ k & = & - 1 \end{array}$
Das berechnete $k$ wird in die Geradengleichung $g$ eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + (- 1) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})$
Antwort: Der Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene hat die Koordinaten:
$S_{x_{1} x_{2}} (1 ∣ 0 ∣ 0)$
Spurpunkt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene
Der Geradengleichung $g$ entnimmst du für $x_{2}$ die Gleichung: $x_{2} = 0 + 0 k = 0$
Wird die $x_{1} x_{3}$ -Ebene geschnitten, so muss $x_{2} $ gleich Null sein: $x_{2} = 0 \Rightarrow$
$0 = 0$
Das ist eine wahre Aussage. Es gibt unendliche viele Schnittpunkte mit der $x_{1} x_{3}$ -Ebene .
Antwort: Die Gerade $g$ verläuft ganz in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene.
Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene
Der Geradengleichung $g$ entnimmst du für $x_{1}$ die Gleichung: $x_{1} = 2 + k$
Wird die $x_{2} x_{3}$ -Ebene geschnitten, so muss $x_{1} $ gleich Null sein: $x_{1} = 0 \Rightarrow$
$\begin{array}{rcl} 0 & = & 2 + k & | - 2 \\ k & = & - 2 \end{array}$
Das berechnete $k$ wird in die Geradengleichung $g$ eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + (- 2) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$
Antwort: Der Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene hat die Koordinaten:
$S_{x_{2} x_{3}} (0 ∣ 0 ∣ - 1)$
Die Punkte, in denen die Gerade $g$ die Koordinatenebenen schneidet, heißen Spurpunkte. Berechne also jeweils den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit einer der drei Koordinatenebenen.

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