Aufgaben zur Lage von Punkten

Untersuche die Lagebeziehung der Punkte zu den Geraden.

$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 1 \end{array})$ und Punkt $P (1 | 4 | - 2)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 1 \end{array})$ und Punkt $P (1 | 4 | - 2)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Geraden, wenn er die Lösung des
von der Gerade $g$ gegebenen linearen Gleichungssystems ist.
$(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 2 \end{array})$
Betrachte eine beliebige x-Koordinate, um den Parameter $r$ zu bestimmen.
$2 - 1 \cdot r$ $=$ $1$ $+ r$
$2$ $=$ $1 + r$ $- 1$
$r$ $=$ $1$
Setze $r$ in die obige Gleichung ein:
$(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) + 1 \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 2 \end{array})$
Für $r = 1$ ist die Gleichung zwischen Punkt und Gerade erfüllt. Der Punkt liegt also auf der Geraden.
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 1 \end{array})$ und Punkt $P (1 | - 3 | - 3)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 1 \end{array})$ und Punkt $P (1 | - 3 | - 3)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Geraden, wenn er die Lösung des
von der Gerade $g$ gegebenen linearen Gleichungssystems ist.
$(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ - 3 \end{array})$
Betrachte eine beliebige x-Koordinate, um den Parameter $r$ zu bestimmen.
$2 - 1 \cdot r$ $=$ $1$ $+ r$
$2$ $=$ $1 + r$ $- 1$
$r$ $=$ $1$
Setze $r$ in die obige Gleichung ein:
$(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) + 1 \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 2 \end{array})$
Für $r = 1$ ist die Gleichung zwischen Punkt und Gerade nicht erfüllt. Die Gleichung ist aber auch für keinen anderen Parameterwert erfüllt, da sich die $x_{1}$ -Koordinate für alle anderen Werte von $r$ von der des Punktes unterscheidet. Der Punkt liegt also nicht auf der Geraden.

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$2 - 1 \cdot r$	$=$	$1$	$+ r$
$2$	$=$	$1 + r$	$- 1$
$r$	$=$	$1$

$2 - 1 \cdot r$	$=$	$1$	$+ r$
$2$	$=$	$1 + r$	$- 1$
$r$	$=$	$1$