Mathe Geometrie Analytische Geometrie Abstände und Winkel Schnittwinkel von Geraden und Ebenen Aufgaben zum Schnittwinkel von Geraden und Ebenen

Aufgaben zum Schnittwinkel von Geraden und Ebenen

Berechne den Schnittwinkel zwischen den beiden Ebenen.

$E_{1} : (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})]$	$=$	$0$
$E_{2} : (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) \cdot [\vec{x} - (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ - 2 \end{array})]$	$=$	$0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel berechnen

$E_{1} : (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})]$	$=$	$0$
$E_{2} : (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ - 2 \end{array})]$	$=$	$0$
	↓	Bestimme den Schnittwinkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen mit dem Skalarprodukt.
$\cos (φ)$	$=$	$\frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{\| \vec{a} \| \cdot \| \vec{b} \|}$
	↓	Setze die beiden Vektoren ein.
	$=$	$\frac{(\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array})}{\| (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) \| \cdot \| (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) \|}$
	↓	Berechne im Zähler das Skalarprodukt und im Nenner die Beträge der Vektoren.
	$=$	$\frac{2 \cdot 1 + (- 1) \cdot 2 + 3 \cdot (- 1)}{\sqrt{2^{2} + (- 1)^{2} + 3^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + 2^{2} + (- 1)^{2}}}$
	$=$	$\frac{2 - 2 - 3}{\sqrt{4 + 1 + 9} \cdot \sqrt{1 + 4 + 1}}$
	$=$	$\frac{- 3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}} = \frac{- 3}{2 \cdot \sqrt{21}}$
	↓	Bilde den Wert der Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel zu bestimmen.
$φ$	$=$	$\arccos (\frac{- 3}{2 \cdot \sqrt{21}}) = {109.1}^{\circ}$
	↓	Dies ist augenscheinlich der größere der beiden Schnittwinkel. Der gesuchte Schnittwinkel ist also $180^{\circ} - {109.1}^{\circ} = {70.9}^{\circ}$ .

$E_{1} : \vec{x}$	$=$	$(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 3 \end{array})$
$E_{2} : \vec{x}$	$=$	$(\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel berechnen

$E_{1} : \vec{x}$	$=$	$(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 3 \end{array})$
$E_{2} : \vec{x}$	$=$	$(\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$
	↓	Bestimme die Normalenvektoren der Ebenen mit dem Kreuzprodukt.
$(\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 3 \end{array})$	$=$	$(\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ - 2 \end{array})$
$(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$	$=$	$(\begin{array}{c} - 1 \\ - 2 \\ 0 \end{array})$
	↓	Bestimme den Schnittwinkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen mit dem Skalarprodukt .
$\cos (φ)$	$=$	$\frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{\| \vec{a} \| \cdot \| \vec{b} \|}$
	↓	Setze die beiden Vektoren ein.
	$=$	$\frac{(\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 1 \\ - 2 \\ 0 \end{array})}{\| (\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) \| \cdot \| (\begin{array}{c} - 1 \\ - 2 \\ 0 \end{array}) \|}$
	↓	Berechne im Zähler das Skalarprodukt und im Nenner die Beträge der Vektoren.
	$=$	$\frac{(- 3) \cdot (- 1) + 0 \cdot (- 2) + (- 2) \cdot 0}{\sqrt{(- 3)^{2} + 0^{2} + (- 2)^{2}} \cdot \sqrt{(- 1)^{2} + (- 2)^{2} + 0^{2}}}$
	$=$	$\frac{3}{\sqrt{9 + 0 + 4} \cdot \sqrt{1 + 4 + 0}}$
	$=$	$\frac{3}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{65}}$
	↓	Bilde den Wert der Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel zu bestimmen.
$φ$	$=$	$\arccos (\frac{3}{\sqrt{65}}) = {68.15}^{\circ}$

$E_{1} : (\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) \circ \vec{x} - 2$	$=$	$0$
$E_{2} : (\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \\ - 1 \end{array}) \circ \vec{x} + 1$	$=$	$0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel berechnen

$E_{1} : (\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) \circ \vec{x} - 2$	$=$	$0$
$E_{2} : (\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \\ - 1 \end{array}) \circ \vec{x} + 1$	$=$	$0$
	↓	Bestimme den Schnittwinkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen mit dem Skalarprodukt .
$\cos (φ)$	$=$	$\frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{\| \vec{a} \| \cdot \| \vec{b} \|}$
	↓	Setze die beiden Vektoren ein.
	$=$	$\frac{(\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \\ - 1 \end{array})}{\| (\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) \| \cdot \| (\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \\ - 1 \end{array}) \|}$
	↓	Berechne im Zähler das Skalarprodukt und im Nenner die Beträge der Vektoren.
	$=$	$\frac{(- 3) \cdot (- 3) + (- 2) \cdot (- 2) + 1 \cdot (- 1)}{\sqrt{(- 3)^{2} + (- 2)^{2} + 1^{2}} \cdot \sqrt{(- 3)^{2} + (- 2)^{2} + (- 1)^{2}}}$
	$=$	$\frac{9 + 4 - 1}{\sqrt{9 + 4 + 1} \cdot \sqrt{9 + 4 + 1}}$
	$=$	$\frac{12}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}}$
	$=$	$\frac{12}{14}$
	↓	Bilde den Wert der Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel zu bestimmen.
$φ$	$=$	$\arccos (\frac{12}{14}) = 31^{\circ}$

$E_{1} : \vec{x}$	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$
$E_{2} : \vec{x}$	$=$	$(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel berechnen

$E_{1} : \vec{x}$	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$
$E_{2} : \vec{x}$	$=$	$(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})$
	↓	Bestimme die Normalenvektoren der Ebenen mit dem Kreuzprodukt.
$(\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array})$
$(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})$	$=$	$(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array})$
	↓	Bestimme den Schnittwinkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen mit dem Skalarprodukt .
$\cos (φ)$	$=$	$\frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{\| \vec{a} \| \cdot \| \vec{b} \|}$
	↓	Setze die beiden Vektoren ein.
	$=$	$\frac{(\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array})}{\| (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) \| \cdot \| (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}) \|}$
	↓	Berechne im Zähler das Skalarprodukt und im Nenner die Beträge der Vektoren.
	$=$	$\frac{1 \cdot 2 + (- 1) \cdot 2 + 3 \cdot 1}{\sqrt{1^{2} + (- 1)^{2} + 3^{2}} \cdot \sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}}$
	$=$	$\frac{2 - 2 + 3}{\sqrt{1 + 1 + 9} \cdot \sqrt{4 + 4 + 1}}$
	$=$	$\frac{3}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{9}}$
	$=$	$\frac{1}{\sqrt{11}}$
	↓	Bilde den Wert der Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel zu bestimmen.
$φ$	$=$	$\arccos (\frac{1}{\sqrt{11}}) = {72.45}^{\circ}$

$φ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{11}}) =$

$= {72.45}^{\circ}$

$E_{1} : 5 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} + 3 \cdot x_{3} - 30$	$=$	$0$
$E_{2} : 10 \cdot x_{1} + 7 \cdot x_{2} - 12 \cdot x_{3} - 45$	$=$	$0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel berechnen

$E_{1} : 5 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} + 3 \cdot x_{3} - 30$	$=$	$0$
$E_{2} : 10 \cdot x_{1} + 7 \cdot x_{2} - 12 \cdot x_{3} - 45$	$=$	$0$
	↓	Bestimme den Schnittwinkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen mit dem Skalarprodukt .
$\cos (φ) \cos$	$=$	$\frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{\| \vec{a} \| \cdot \| \vec{b} \|}$
	↓	Setze die beiden Vektoren ein.
	$=$	$\frac{(\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 10 \\ 7 \\ - 12 \end{array})}{\| (\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ 3 \end{array}) \| \cdot \| (\begin{array}{c} 10 \\ 7 \\ - 12 \end{array}) \|}$
	↓	Berechne im Zähler das Skalarprodukt und im Nenner die Beträge der Vektoren
	$=$	$\frac{5 \cdot 10 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot (- 12)}{\sqrt{5^{2} + 2^{2} + 3^{2}} \cdot \sqrt{10^{2} + 7^{2} + (- 12)^{2}}}$
	$=$	$= \frac{50 + 14 - 36}{\sqrt{25 + 4 + 9} \cdot \sqrt{100 + 49 + 144}}$
	$=$	$\frac{28}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{293}}$
	$=$	$\frac{28}{\sqrt{11134}}$
	↓	Bilde den Wert der Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel zu bestimmen.
$φ$	$=$	$\arccos (\frac{28}{\sqrt{11134}}) = {74.61}^{\circ}$

$E_{1} : (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) \circ \vec{x} - 2$	$=$	$0$
$E_{2} : - x_{1} + x_{2} - x_{3} - 1$	$=$	$0$

$E_{1} : (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) \circ \vec{x} - 2$	$=$	$0$
$E_{2} : - x_{1} + x_{2} - x_{3} - 1$	$=$	$0$
	↓	Bestimme den Schnittwinkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen mit dem Skalarprodukt .
$\cos (φ)$	$=$	$\frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{\| \vec{a} \| \cdot \| \vec{b} \|}$
	↓	Setze die beiden Vektoren ein.
	$=$	$\frac{(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array})}{\| (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) \| \cdot \| (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) \|}$
	↓	Berechne im Zähler das Skalarprodukt und im Nenner die Beträge der Vektoren.
	$=$	$\frac{1 \cdot (- 1) + 0 \cdot 1 + (- 1) \cdot (- 1)}{\sqrt{1^{2} + 0^{2} + (- 1)^{2}} \cdot \sqrt{(- 1)^{2} + 1^{2} + (- 1)^{2}}}$
	$=$	$\frac{- 1 + 1}{\sqrt{1 + 0 + 1} \cdot \sqrt{1 + 1 + 1}}$
	$=$	$\frac{0}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}$
	$=$	$0$
	↓	Bilde den Wert der Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel zu bestimmen.
$φ$	$=$	$\arccos (0) = 90^{\circ}$

$E_{1} : \vec{x}$	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ - 2 \end{array})$
$E_{2} : \vec{x}$	$=$	$(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{array})$

$E_{1} : \vec{x}$	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ - 2 \end{array})$
$E_{2} : \vec{x}$	$=$	$(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{array})$
	↓	Bestimme die Normalenvektoren der Ebenen mit dem Kreuzprodukt.
$(\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ - 2 \end{array})$	$=$	$(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 2 \end{array})$
$(\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ - 2 \end{array})$	$=$	$(\begin{array}{c} - 5 \\ - 4 \\ - 2 \end{array})$
	↓	Bestimme den Schnittwinkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen mit dem Skalarprodukt .
$\cos (φ)$	$=$	$\frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{\| \vec{a} \| \cdot \| \vec{b} \|}$
	↓	Setze die beiden Vektoren ein.
	$=$	$\frac{(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 2 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 5 \\ - 4 \\ - 2 \end{array})}{\| (\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 2 \end{array}) \| \cdot \| (\begin{array}{c} - 5 \\ - 4 \\ - 2 \end{array}) \|}$
	↓	Berechne im Zähler das Skalarprodukt und im Nenner die Beträge der Vektoren.
	$=$	$\frac{4 \cdot (- 5) + 2 \cdot (- 4) + 2 \cdot (- 2)}{\sqrt{4^{2} + 2^{2} + 2^{2}} \cdot \sqrt{(- 5)^{2} + (- 4)^{2} + (- 2)^{2}}}$
	$=$	$\frac{- 20 - 8 - 4}{\sqrt{16 + 4 + 4} \cdot \sqrt{25 + 16 + 4}}$
	$=$	$\frac{- 32}{\sqrt{24} \cdot \sqrt{45}}$
	$=$	$\frac{- 32}{6 \cdot \sqrt{30}}$
	↓	Bilde den Wert der Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel zu bestimmen.
$φ$	$=$	$\arccos (\frac{- 32}{6 \cdot \sqrt{30}}) = {166.8}^{\circ}$
	↓	Dies ist augenscheinlich der größere der beiden Schnittwinkel. Der gesuchte Schnittwinkel ist also $180^{\circ} - {166.8}^{\circ} = {13.2}^{\circ}$ .

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