Aufgaben zur Aufstellung von Ebenengleichung

Aus der Zeichnung kannst du zwei Punkt ablesen, die in der Ebene liegen:

$\mathrm{A}(1;0;0)$  

$\mathrm{B}(0;3;0)$

Der Vektor  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$   ist einer der Richtungsvektoren der Ebene $\mathrm{E}$ .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{B}}-\overrightarrow{\mathrm{A}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 0\end{array}\right)$

Der zweite Richtungsvektor ist parallel zur  ${\mathrm{x}}_3-\mathrm{Achse}$. Wir können also als zweiten Richtungsvektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$nehmen.

Wähle den Punkt  $\mathrm{A}$  oder  $\mathrm{B}$  als Aufpunkt und stelle die Gleichung der Ebene  $\mathrm{E}$  in Parameter auf.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\mathrm{\lambda }\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 0\end{array}\right)+\mathrm{\mu }\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Lese die gegebenen Punkte ab:

$\mathrm{A}(2;0;0)$   ,   $\mathrm{B}(0;0;3)$

Der Vektor  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$   ist einer der Richtungsvektoren der Ebene $\mathrm{E}$ .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{B}}-\overrightarrow{\mathrm{A}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 3\end{array}\right)$

Der zweite Richtungsvektor  $\overrightarrow{\mathrm{v}}$  ist parallel zur  ${\mathrm{x}}_2-\mathrm{Achse}$  .

$\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{v}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

Wähle den Punkt  $\mathrm{A}$  oder  $\mathrm{B}$  als Aufpunkt und Stelle die Gleichung der Ebene  $\mathrm{E}$  auf.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\mathrm{\lambda }\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 3\end{array}\right)+\mathrm{\mu }\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

Lese die gegebenen Punkte ab:

$\mathrm{A}(1;0;0)$   ,   $\mathrm{B}(0;3;0)$   ,   $\mathrm{C}(0;0;2)$

Der Vektor  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$   und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  sind die Richtungsvektoren der Ebene $\mathrm{E}$ .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{B}}-\overrightarrow{\mathrm{A}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 0\end{array}\right)$

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{\mathrm{A}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2\end{array}\right)$

Wähle einen der  Punkte  $\mathrm{A}$ ,  $\mathrm{B}$  oder $\mathrm{C}$  als Aufpunkt und Stelle die Gleichung der Ebene  $\mathrm{E}$  auf.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\mathrm{\lambda }\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 0\end{array}\right)+\mathrm{\mu }\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2\end{array}\right)$

Lese die gegebenen Punkte ab:

$\mathrm{A}(0;0;3)$

Einer der Richtungsvektoren der Ebene  $\mathrm{E}$  ist parallel zur  ${\mathrm{x}}_1-\mathrm{Achse}$ .

$\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{v}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

Der andere Richtungsvektor ist parallel zur  ${\mathrm{x}}_2-\mathrm{Achse}$ .

$\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{u}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0\end{array}\right)$

Wähle den Punkt  $\mathrm{A}$  als Aufpunkt und Stelle die Gleichung Ebene  $\mathrm{E}$  auf.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 3\end{array}\right)+\mathrm{\lambda }\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\mathrm{\mu }\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$