Aufgaben zum Schnittwinkel von Geraden und Ebenen

Bestimme den Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene.

$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{array})$ und $E : (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})] = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene berechnen
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{array})$ und $E : (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})] = 0$
Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des
Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.
$\begin{array}{c} \end{array}$ $\begin{array}{rcl} \cos (φ) & = & \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |} = \frac{(\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array})}{| (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) | \cdot | (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) |} \\ = & \frac{2 \cdot 2 + (- 1) \cdot (- 3) + (- 2) \cdot 1}{\sqrt{2^{2} + (- 1)^{2} + (- 2)^{2}} \cdot \sqrt{2^{2} + (- 3)^{2} + 1^{2}}} \\ = & \frac{4 + 3 - 2}{\sqrt{4 + 1 + 4} \cdot \sqrt{4 + 9 + 1}} \\ = & \frac{5}{\sqrt{9} \cdot \sqrt{14}} = \frac{5}{3 \cdot \sqrt{14}} \end{array}$
Verwende jetzt die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $φ$ zu bestimmen.
$φ = \arccos (\frac{5}{3 \cdot \sqrt{14}}) = {63.55}^{\circ}$
Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit $α = 90^{\circ} - φ$ .
$α = {90.00}^{\circ} - {63.55}^{\circ} = {26.45}^{\circ}$
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$ und $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 5 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene berechnen
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$ und $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 5 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$
Bestimme zuerst den Normalenvektor der Ebene mit dem Kreuzprodukt:
$(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ - 7 \\ - 2 \end{array})$
Bestimme jetzt den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des
Skalarprodukts und der Beträge der Vektoren.
$\begin{array}{rcl} \cos (φ) & = & \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |} = \frac{(\begin{array}{c} 1 \\ - 7 \\ - 2 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array})}{| (\begin{array}{c} 1 \\ - 7 \\ - 2 \end{array}) | \cdot | (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) |} \\ = & \frac{1 \cdot 1 + (- 7) \cdot (- 1) + (- 2) \cdot 1}{\sqrt{1^{2} + (- 7)^{2} + (- 2)^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + (- 1)^{2} + 1^{2}}} \\ = & \frac{1 + 7 - 2}{\sqrt{1 + 49 + 4} \cdot \sqrt{1 + 1 + 1}} \\ = & \frac{6}{\sqrt{54} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6}{3 \cdot \sqrt{18}} \end{array}$
Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $φ$ zu bestimmen.
$φ = \arccos (\frac{5}{3 \cdot \sqrt{14}}) = {61.87}^{\circ}$
Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit $α = 90^{\circ} - φ$ .
$α = {90.00}^{\circ} - {61.87}^{\circ} = {28.13}^{\circ}$
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 9 \\ - 4 \\ 20 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 6 \end{array})$ und $E : (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) \circ \vec{x} + 6 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene berechnen
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 9 \\ - 4 \\ 20 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 6 \end{array})$ und $E : (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) \circ \vec{x} + 6 = 0$
Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des
Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.
$\begin{array}{rcl} \cos (φ) & = & \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |} = \frac{(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 6 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 1 \end{array})}{| (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 6 \end{array}) | \cdot | (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) |} \\ = & \frac{4 \cdot 3 + 0 \cdot 1 + (- 6) \cdot (- 1)}{\sqrt{4^{2} + 0^{2} + (- 6)^{2}} \cdot \sqrt{3^{2} + 1^{2} + (- 1)^{2}}} \\ = & \frac{12 + 6}{\sqrt{16 + 0 + 36} \cdot \sqrt{9 + 1 + 1}} \\ = & \frac{18}{\sqrt{52} \cdot \sqrt{11}} = \frac{18}{2 \cdot \sqrt{143}} \end{array}$
Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $φ$ zu bestimmen.
$φ = \arccos (\frac{18}{2 \cdot \sqrt{143}}) = {41.18}^{\circ}$
Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit $α = 90^{\circ} - φ$ .
$α = {90.00}^{\circ} - {41.18}^{\circ} = {48.82}^{\circ}$
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$ und $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 2 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene berechnen
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$ und $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 2 \end{array})$
Bestimme zuerst den Normalenvektor der Ebene mit dem Kreuzprodukt:
$(\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 5 \\ - 2 \\ - 1 \end{array})$
Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des
Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.
$\begin{array}{rcl} \cos (φ) & = & \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |} = \frac{(\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 5 \\ - 2 \\ - 1 \end{array})}{| (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) | \cdot | (\begin{array}{c} - 5 \\ - 2 \\ - 1 \end{array}) |} \\ = & \frac{1 \cdot (- 5) + (- 1) \cdot (- 2) + 3 \cdot (- 1)}{\sqrt{1^{2} + (- 1)^{2} + 3^{2}} \cdot \sqrt{(- 5)^{2} + (- 2)^{2} + (- 1)^{2}}} \\ = & \frac{- 5 + 2 - 3}{\sqrt{1 + 1 + 9} \cdot \sqrt{25 + 4 + 1}} \\ = & \frac{- 6}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{30}} = \frac{- 6}{\sqrt{330}} \end{array}$
Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $φ$ zu bestimmen.
$φ = \arccos (\frac{- 6}{\sqrt{330}}) = {109.3}^{\circ}$
Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit $α = 90^{\circ} - φ$ .
$α = {90.00}^{\circ} - {109.3}^{\circ} = - {19.3}^{\circ}$
Der eingeschlossene Winkel beträgt also ${19.3}^{\circ}$ . Die Negativität des Ergebnisses oben folgt nur aus der speziellen Wahl der Richtungsvektoren.
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array})$ und $E : x_{1} + x_{2} + 2 \cdot x_{3} - 11 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene berechnen
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array})$ und $E : x_{1} + x_{2} + 2 \cdot x_{3} - 11 = 0$
Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des
Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.
$\begin{array}{rcl} \cos (φ) & = & \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |} = \frac{(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})}{| (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) | \cdot | (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}) |} \\ = & \frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 2}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 0^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 2^{2}}} \\ = & \frac{2 + 1}{\sqrt{4 + 1 + 0} \cdot \sqrt{1 + 1 + 4}} \\ = & \frac{3}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{30}} \end{array}$
Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $φ$ zu bestimmen.
$φ = \arccos (\frac{3}{\sqrt{30}}) = {56.79}^{\circ}$
Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit $α = 90^{\circ} - φ$ .
$α = {90.00}^{\circ} - {56.79}^{\circ} = {33.21}^{\circ}$
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array})$ und $E : (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ - 2 \end{array}) \circ \vec{x} - 4 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene berechnen
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array})$ und $E : (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ - 2 \end{array}) \circ \vec{x} - 4 = 0$
Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des
Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.
$\begin{array}{rcl} \cos (φ) & = & \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |} = \frac{(\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ - 2 \end{array})}{| (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) | \cdot | (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ - 2 \end{array}) |} \\ = & \frac{2 \cdot 3 + (- 3) \cdot 4 + 1 \cdot (- 2)}{\sqrt{2^{2} + (- 3)^{2} + 1^{2}} \cdot \sqrt{3^{2} + 4^{2} + (- 2)^{2}}} \\ = & \frac{6 - 12 - 2}{\sqrt{4 + 9 + 1} \cdot \sqrt{9 + 16 + 4}} \\ = & \frac{- 8}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{29}} = \frac{- 8}{\sqrt{406}} \end{array}$
Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $φ$ zu bestimmen.
$φ = \arccos (\frac{- 8}{\sqrt{406}}) = {113.4}^{\circ}$
Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit $α = 90^{\circ} - φ$ .
$α = {90.00}^{\circ} - {113.4}^{\circ} = - {23.4}^{\circ}$
Der eingeschlossene Winkel beträgt also ${23.4}^{\circ}$ . Die Negativität des Ergebnisses oben folgt nur aus der speziellen Wahl der Richtungsvektoren.
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 5 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 7 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$ und $E : x_{1} - 4 \cdot x_{3} - 5 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene berechnen
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 5 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 7 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$ und $E : x_{1} - 4 \cdot x_{3} - 5 = 0$
Bestimme den Schnittwinkel zwischen dem Normalenvektor
der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden mithilfe des
Skalarprodukts und des Betrags der Vektoren.
$\begin{array}{rcl} \cos (φ) & = & \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |} = \frac{(\begin{array}{c} 7 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 4 \end{array})}{| (\begin{array}{c} 7 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) | \cdot | (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 4 \end{array}) |} \\ = & \frac{7 \cdot 1 + (- 2) \cdot 0 + 1 \cdot (- 4)}{\sqrt{7^{2} + (- 2)^{2} + 1^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + 0^{2} + (- 4)^{2}}} \\ = & \frac{7 - 4}{\sqrt{49 + 4 + 1} \cdot \sqrt{1 + 16}} \\ = & \frac{3}{\sqrt{54} \cdot \sqrt{17}} = \frac{1}{\sqrt{102}} \end{array}$
Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel $φ$ zu bestimmen.
$φ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{102}}) = {84.32}^{\circ}$
Berechne nun den gesuchten Schnittwinkel mit $α = 90^{\circ} - φ$ .
$α = {90.00}^{\circ} - {84.32}^{\circ} = {5.68}^{\circ}$

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