Aufgaben zum Schnittwinkel von Geraden und Ebenen

Bestimme den Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden.

$g_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array})$ und $g_{2} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Berechne den Schnittwinkel zwischen den beiden Richtungsvektoren mit dem Skalarprodukt.
$\cos (φ) = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}$
Setze die Richtungsvektoren der Geraden ein. Berechne das Skalarprodukt und die Beträge der Vektoren.
$\cos (φ) = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}$ $= \frac{(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array})}{| (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) | \cdot | (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) |}$

$= \frac{2 - 2 - 2}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{9}}$
$= \frac{- 2}{3 \cdot \sqrt{6}}$
Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus.
$φ = \arccos (\frac{- 2}{3 \cdot \sqrt{6}})$ $= {105,8}^{\circ}$
Dies ist augenscheinlich der größere der beiden Schnittwinkel. Der gesuchte (kleinere) Schnittwinkel ist also $180^{\circ} - {105.8}^{\circ} = {74.2}^{\circ}$ .
$g_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array})$ und $g_{2} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 3 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Berechne den Schnittwinkel zwischen den beiden Richtungsvektoren mit dem Skalarprodukt.
$\cos (φ) = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}$
Setze die Richtungsvektoren der Geraden ein. Berechne das Skalarprodukt und die Beträge der Vektoren.
$\cos (φ) = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}$
   $\begin{array}{l} = \frac{(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 3 \end{array})}{| (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) | \cdot | (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 3 \end{array}) |} \end{array}$
   $\begin{array}{l} = \frac{1 \cdot 3 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 3}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 1^{2}} \cdot \sqrt{3^{2} + 3^{2} + 3^{2}}} \end{array}$
   $= \frac{12}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{27}}$
   $= \frac{12}{9 \cdot \sqrt{2}}$
Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus
$φ = \arccos (\frac{12}{9 \cdot \sqrt{2}})$
   $= {19.47}^{\circ}$
$g_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ - 2 \\ 6 \end{array})$ und $g_{2} : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ - 4 \\ 10 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Berechne den Schnittwinkel zwischen den beiden Richtungsvektoren mit dem Skalarprodukt.
$\cos (φ) = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}$
Setze die Richtungsvektoren der Geraden ein. Berechne das Skalarprodukt und die Beträge der Vektoren.
$\cos (φ) = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}$
   $\begin{array}{l} = \frac{(\begin{array}{c} - 4 \\ - 2 \\ 6 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 4 \\ - 4 \\ 10 \end{array})}{| (\begin{array}{c} - 4 \\ - 2 \\ 6 \end{array}) | \cdot | (\begin{array}{c} - 4 \\ - 4 \\ 10 \end{array}) |} \end{array}$
   $\begin{array}{l} = \frac{(- 4) \cdot (- 4) + (- 2) \cdot (- 4) + 6 \cdot 10}{\sqrt{(- 4)^{2} + (- 2)^{2} + 6^{2}} \cdot \sqrt{(- 4)^{2} + (- 4)^{2} + 10^{2}}} \end{array}$
   $= \frac{84}{\sqrt{56} \cdot \sqrt{132}}$
   $= \frac{84}{2 \cdot \sqrt{14} \cdot 2 \cdot \sqrt{33}}$
   $= \frac{21}{\sqrt{462}}$
Verwende die Umkehrfunktion des Cosinus.
$φ = \arccos (\frac{21}{\sqrt{462}})$
   $= {12.31}^{\circ}$

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