Aufgaben zur Aufstellung von Ebenengleichung

Wähle  $\overrightarrow{\mathrm{v}}$  als ersten Richtungsvektor und  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  als zweiten Richtungsvektor der Ebene.

Berechne $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{B}}-\overrightarrow{\mathrm{A}}=\left(\begin{array}{c}3\\ 7\\ 5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 7\end{array}\right)$

Wähle  $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung  $\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm{\lambda }\cdot \overrightarrow{\mathrm{v}}+\mathrm{\mu }\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}$  ein.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -2\end{array}\right)+\mathrm{\lambda }\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 10\\ -7\end{array}\right)+\mathrm{\mu }\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 7\end{array}\right)$

Wähle  $\overrightarrow{\mathrm{v}}$  als ersten Richtungsvektor und  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  als zweiten Richtungsvektor der Ebene.

Berechne $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{B}}-\overrightarrow{\mathrm{A}}=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ -3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 0\end{array}\right)$

Wähle  $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung $\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm{\lambda }\cdot \overrightarrow{\mathrm{v}}+\mathrm{\mu }\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}$  ein.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -3\end{array}\right)+\mathrm{\lambda }\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 1\end{array}\right)+\mathrm{\mu }\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 0\end{array}\right)$

Wähle  $\overrightarrow{\mathrm{v}}$  als ersten Richtungsvektor und  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  als

zweiten Richtungsvektor der Ebene.

Berechne  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{B}}-\overrightarrow{\mathrm{A}}=\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}8\\ 13\\ 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\\ -16\\ -10\end{array}\right)$

Um einen einfacheren Vektor zu erhalten, kann man gegebenenfalls noch $-2$  ausklammern.

$\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\left(\begin{array}{c}2\\ 8\\ 5\end{array}\right)$

Wähle  $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung $\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm{\lambda }\cdot \overrightarrow{\mathrm{v}}+\mathrm{\mu }\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}$  ein.

$\mathrm{E}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}8\\ 13\\ 9\end{array}\right)+\mathrm{\lambda }\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 1\\ 1\end{array}\right)+\mathrm{\mu }\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 8\\ 5\end{array}\right)$