Aufgaben zur Lage von Punkten

Untersuche die Lagebeziehung der Punkte und Ebenen.

Ebene $E : (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array})] = 0$ und Punkt $P (0 | - 1 | - 2)$ .
- Der Punkt liegt in der Ebene.
- Der Punkt liegt nicht in der Ebene.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
$E : (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array})] = 0$ und $P (0 | - 1 | - 2)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $P$ in die Gleichung von $E$ ein.
$(\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array})] = 0$
$(\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ - 2 \end{array}) = 0$
$\begin{array}{rcl} (- 1) \cdot 0 + 2 \cdot (- 3) + (- 3) \cdot (- 2) & = & 0 \\ - 6 + 6 & = & 0 \\ 0 & = & 0 \end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $P$ liegt also in der Ebene.
Ebene $E : (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 3 \end{array}) \circ \vec{x} + 9 = 0$ und Punkt $P (0 | 1 | 3)$ .
- Der Punkt liegt in der Ebene.
- Der Punkt liegt nicht in der Ebene.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
$E : (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 3 \end{array}) \circ \vec{x} + 9 = 0$ und $P (0 | 1 | 3)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $P$ in die Gleichung von $E$ ein.
$(\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 3 \end{array}) + 9 = 0$
$\begin{array}{rcl} 1 \cdot 0 + (- 2) \cdot 1 + (- 3) \cdot 3 + 9 & = & 0 \\ - 2 - 9 + 9 & = & 0 \\ - 2 & = & 0 \end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $P$ liegt also nicht in der Ebene.
Ebene $E : 8 x_{1} - x_{2} + 4 x_{3} - 15 = 0$ und Punkt $P (2 | 1 | 0)$ .
- Der Punkt liegt in der Ebene.
- Der Punkt liegt nicht in der Ebene.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
$E : 8 x_{1} - x_{2} + 4 x_{3} - 15 = 0$ und $P = (2 | 1 | 0)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $P$ in die Gleichung von $E$ ein.
$8 \cdot 2 - 1 + 4 \cdot 0 - 15 = 0$
$16 - 1 - 15 = 0$
$0 = 0$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $P$ liegt also in der Ebene.
Ebene $E : (\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 6 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array})] = 0$ und Punkt $P (3 | - 1 | 2)$ .
- Der Punkt liegt in der Ebene.
- Der Punkt liegt nicht in der Ebene.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
$E : (\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 6 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array})] = 0$ und $P (3 | - 1 | 2)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $P$ in die Gleichung von $E$ ein.
$(\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 6 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array})] = 0$
$(\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 6 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 3 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) = 0$
$\begin{array}{rcl} 2 \cdot 3 + (- 4) \cdot (- 3) + 6 \cdot 2 & = & 0 \\ 6 + 12 + 12 & = & 0 \\ 30 & = & 0 \end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $P$ liegt also nicht in der Ebene.
Ebene $E : (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 3 \end{array}) \circ \vec{x} + 9 = 0$ und Punkt $P (- 2 | - 1 | 3)$ .
- Der Punkt liegt in der Ebene.
- Der Punkt liegt nicht in der Ebene.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
$E : (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 3 \end{array}) \circ \vec{x} + 9 = 0$ und $P (- 2 | - 1 | 3)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $P$ in die Gleichung von $E$ ein.
$(\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) + 9 = 0$
$\begin{array}{rcl} 1 \cdot (- 2) + (- 2) \cdot (- 1) + (- 3) \cdot 3 + 9 & = & 0 \\ - 2 + 2 - 9 + 9 & = & 0 \\ 0 & = & 0 \end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $P$ liegt also in der Ebene.
Ebene $E : 8 x_{1} - x_{2} + 4 x_{3} - 15 = 0$ und Punkt $P (2 | 1 | 1)$ .
- Der Punkt liegt in der Ebene.
- Der Punkt liegt nicht in der Ebene.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
$E : 8 x_{1} - x_{2} + 4 x_{3} - 15 = 0$ und $P (2 | 1 | 1)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $P$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\begin{array}{rcl} 8 \cdot 2 - 1 + 4 \cdot 1 - 15 & = & 0 \\ 16 - 1 + 4 - 15 & = & 0 \\ 4 & = & 0 \end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $P$ liegt also nicht in der Ebene.
Ebene $E : (\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ 6 \end{array}) \circ \vec{x} + 9 = 0$ und Punkt $P (0 | 0 | - 3)$ .
- Der Punkt liegt in der Ebene.
- Der Punkt liegt nicht in der Ebene.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
$E : (\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ 6 \end{array}) \circ \vec{x} + 9 = 0$ und $P (0 | 0 | - 3)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $P$ in die Gleichung von $E$ ein.
$(\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ 6 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 3 \end{array}) + 9 = 0$
$\begin{array}{rcl} (- 2) \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 6 \cdot (- 3) + 9 & = & 0 \\ - 18 + 9 & = & 0 \\ - 9 & = & 0 \end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $P$ liegt also nicht in der Ebene.
Ebene $E : x_{1} + x_{2} - x_{3} = 1$ und Punkte $A (1 | 2 | 3)$ , $B (1 | 2 | 2)$ , $C (10 | 4 | 13)$ .
- A, B
- A, B, C
- B, C
- A, C
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Punktprobe für $A$
$E : x_{1} + x_{2} - x_{3} = 1$ und $A (1 | 2 | 3)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\begin{array}{rcl} 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 - 1 \cdot 3 & = & 1 \\ 1 + 2 - 3 & = & 1 \\ 0 & = & 1 \end{array} $
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $A$ liegt also nicht in der Ebene.
Punktprobe für $B$
$E : x_{1} + x_{2} - x_{3} = 1$ und $B (1 | 2 | 2)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\begin{array}{rcl} 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 & = & 1 \\ 1 + 2 - 2 & = & 1 \\ 1 & = & 1 \end{array} $
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $B$ liegt also in der Ebene.
Punktprobe für $C$
$E : x_{1} + x_{2} - x_{3} = 1$ und $C (10 | 4 | 13)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\begin{array}{rcl} 1 \cdot 10 + 1 \cdot 4 - 1 \cdot 13 & = & 1 \\ 10 + 4 - 13 & = & 1 \\ 1 & = & 1 \end{array} $
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $C$ liegt also in der Ebene.
Ergebnis: $B$ und $C$ liegen in der Ebene $E$ .
Ebene $E : 4 \cdot x_{1} + 5 \cdot x_{2} - 3 \cdot x_{3} = 8$ und Punkte $A (1 | 1 | 1)$ , $B (0 | 1 | - 1)$ , $C (2 | 0 | 0)$ .
- A, C
- A, B
- kein Punkt
- B, C
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Punktprobe für A
$E : 4 \cdot x_{1} + 5 \cdot x_{2} - 3 \cdot x_{3} = 8$ und $A (1 ∣ 1 ∣ 1)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\begin{array}{rcl} 4 \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 3 \cdot 1 & = & 8 \\ 4 + 5 - 3 & = & 8 \\ 6 & = & 8 \end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $A$ liegt also nicht in der Ebene.
Punktprobe für $B$
$E : 4 \cdot x_{1} + 5 \cdot x_{2} - 3 \cdot x_{3} = 8$ und $B (0 ∣ 1 ∣ - 1)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\begin{array}{rcl} 4 \cdot 0 + 5 \cdot 1 - 3 \cdot (- 1) & = & 8 \\ 0 + 5 + 3 & = & 8 \\ 8 & = & 8 \end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $B$ liegt also in der Ebene.
Punktprobe für $C$
$E : 4 \cdot x_{1} + 5 \cdot x_{2} - 3 \cdot x_{3} = 8$ und $C (2 ∣ 0 ∣ 0)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\begin{array}{rcl} 4 \cdot 2 + 5 \cdot 0 - 3 \cdot 0 & = & 8 \\ 8 + 0 - 0 & = & 8 \\ 8 & = & 8 \end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $C$ liegt also in der Ebene.
Ergebnis: $B$ und $C$ liegen in der Ebene $E$ .
Ebene $E : x_{2} - x_{3} = - 2$ und Punkte $A (- 2 | 3 | 3)$ , $B (1 | 0 | 0)$ , $C (8 | 1 | 3)$ .
- A
- A, B
- C
- B, C
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Punktprobe für $A$
$E : x_{2} - x_{3} = - 2$ und $A (- 2 | 3 | 3)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\begin{array}{rcl} 1 \cdot 3 - 1 \cdot 3 & = & - 2 \\ 3 - 3 & = & - 2 \\ 0 & = & - 2 \end{array} $
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $A$ liegt also nicht in der Ebene.
Punktprobe für $B$
$E : x_{2} - x_{3} = - 2$ und $B (1 | 0 | 0)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\begin{array}{rcl} 1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 & = & - 2 \\ 0 + 0 & = & - 2 \\ 0 & = & - 2 \end{array} $
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $B$ liegt also nicht in der Ebene.
Punktprobe für $C$
$E : x_{2} - x_{3} = - 2$ und $C (8 | 1 | 3)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\begin{array}{rcl} 1 \cdot 1 - 1 \cdot 3 & = & - 2 \\ 1 - 3 & = & - 2 \\ - 2 & = & - 2 \end{array} $
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $C$ liegt also in der Ebene.
Ergebnis: Nur der Punkt $C$ liegt in der Ebene $E$ .
Ebene $E : 18 \cdot x_{1} - 13 \cdot x_{2} + 7 \cdot x_{3} = 22$ und Punkte $A (1 | 1 | 1)$ , $B (1 | 0 | 1)$ , $C (0 | 2 | 1)$ .
- A, B, C
- A, B
- kein Punkt
- C
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Punktprobe für A
$E : 18 \cdot x_{1} - 13 \cdot x_{2} + 7 \cdot x_{3} = 22$ und $A (1 ∣ 1 ∣ 1)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\begin{array}{rcl} 18 \cdot 1 - 13 \cdot 1 + 7 \cdot 1 & = & 22 \\ 18 - 13 + 7 & = & 22 \\ 12 & = & 22 \end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $A$ liegt also nicht in der Ebene.
Punktprobe für $B$
$E : 18 \cdot x_{1} - 13 \cdot x_{2} + 7 \cdot x_{3} = 22$ und $B (1 ∣ 0 ∣ 1)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\begin{array}{rcl} 18 \cdot 1 - 13 \cdot 0 + 7 \cdot 1 & = & 22 \\ 18 - 0 + 7 & = & 22 \\ 25 & = & 22 \end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $B$ liegt also nicht in der Ebene.
Punktprobe für $C$
$E : 18 \cdot x_{1} - 13 \cdot x_{2} + 7 \cdot x_{3} = 22$ und $C (0 ∣ 2 ∣ 1)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\begin{array}{rcl} 18 \cdot 0 - 13 \cdot 2 + 7 \cdot 1 & = & 22 \\ 0 - 26 + 7 & = & 22 \\ - 19 & = & 22 \end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $C$ liegt also nicht in der Ebene.
Ergebnis: Keiner der drei Punkte liegt in der Ebene $E$ .
Ebene $E : x_{1} - x_{3} = - 2$ und Punkte $A (- 1 | 1 | 1)$ , $B (- 2 | 0 | 0)$ , $C (2 | 2 | 4)$ .
- A, B
- B, C
- A, B, C
- kein Punkt
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Punktprobe für A
$E : x_{1} - x_{3} = - 2$ und $A (- 1 ∣ 1 ∣ 1)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\begin{array}{rcl} 1 \cdot (- 1) - 1 \cdot 1 & = & - 2 \\ - 1 - 1 & = & - 2 \\ - 2 & = & - 2 \end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $A$ liegt also in der Ebene.
Punktprobe für $B$
$E : x_{1} - x_{3} = - 2$ und $B (- 2 ∣ 0 ∣ 0)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\begin{array}{rcl} 1 \cdot (- 2) - 1 \cdot 0 & = & - 2 \\ - 2 - 0 & = & - 2 \\ - 2 & = & - 2 \end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $B$ liegt also in der Ebene.
Punktprobe für $C$
$E : x_{1} - x_{3} = - 2$ und $C (2 ∣ 2 ∣ 4)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\begin{array}{rcl} 1 \cdot 2 - 1 \cdot 4 & = & - 2 \\ 2 - 4 & = & - 2 \\ - 2 & = & - 2 \end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $C$ liegt also in der Ebene.
Ergebnis: $A$ , $B$ und $C$ liegen in der Ebene $E$ .
Ebene $E : 2 \cdot x_{1} + 8 \cdot x_{2} - 5 \cdot x_{3} = - 10$ und Punkte $A (4 | - 1 | 2)$ , $B (10 | - 2 | 1)$ , $C (- 1 | - 1 | 0)$ .
- A, B
- B, C
- A, C
- C
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Punktprobe für A
$E : 2 \cdot x_{1} + 8 \cdot x_{2} - 5 \cdot x_{3} = - 10$ und $A (4 ∣ - 1 ∣ 2)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\begin{array}{rcl} 2 \cdot 4 + 8 \cdot (- 1) - 5 \cdot 2 & = & - 10 \\ 8 - 8 - 10 & = & - 10 \\ - 10 & = & - 10 \end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $A$ liegt also in der Ebene.
Punktprobe für $B$
$E : 2 \cdot x_{1} + 8 \cdot x_{2} - 5 \cdot x_{3} = - 10$ und $B (10 ∣ - 2 ∣ 1)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\begin{array}{rcl} 2 \cdot 10 + 8 \cdot (- 2) - 5 \cdot 1 & = & - 10 \\ 20 - 16 - 5 & = & - 10 \\ - 1 & = & - 10 \end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $B$ liegt also nicht in der Ebene.
Punktprobe für $C$
$E : 2 \cdot x_{1} + 8 \cdot x_{2} - 5 \cdot x_{3} = - 10$ und $C (- 1 ∣ - 1 ∣ 0)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\begin{array}{rcl} 2 \cdot (- 1) + 8 \cdot (- 1) - 5 \cdot 0 & = & - 10 \\ - 2 - 8 - 0 & = & - 10 \\ - 10 & = & - 10 \end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $C$ liegt also in der Ebene.
Ergebnis: $A$ und $C$ liegen in der Ebene $E$ .
Ebene $E : 12 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} + 5 \cdot x_{3} = 31$ und Punkte $A (0 | 0,5 | 6)$ , $B (0 | 2 | 6)$ , $C (2 | 3 | 0,5)$ .
- B
- C
- A
- B, C
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Punktprobe für A
$E : 12 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} + 5 \cdot x_{3} = 31$ und $A (0 ∣ 0,5 ∣ 6)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\begin{array}{rcl} 12 \cdot 0 + 2 \cdot 0,5 + 5 \cdot 6 & = & 31 \\ 0 + 1 + 30 & = & 31 \\ 31 & = & 31 \end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $A$ liegt also in der Ebene.
Punktprobe für $B$
$E : 12 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} + 5 \cdot x_{3} = 31$ und $B (0 ∣ 2 ∣ 6)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\begin{array}{rcl} 12 \cdot 0 + 2 \cdot 2 + 5 \cdot 6 & = & 31 \\ 0 + 4 + 30 & = & 31 \\ 34 & = & 31 \end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $B$ liegt also nicht in der Ebene.
Punktprobe für $C$
$E : 12 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} + 5 \cdot x_{3} = 31$ und $C (2 ∣ 3 ∣ 0,5)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\begin{array}{rcl} 12 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 5 \cdot 0,5 & = & 31 \\ 24 + 6 + 2,5 & = & 31 \\ 32,5 & = & 31 \end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $C$ liegt also nicht in der Ebene.
Ergebnis: Nur der Punkt $A$ liegt in der Ebene $E$ .
Ebene $E : 100 \cdot x_{1} - 13 \cdot x_{2} + 43 \cdot x_{3} = 126$ und Punkte $A (1 | 1 | 1)$ , $B (1 | - 2 | 1)$ , $C (0 | 0 | 3)$ .
- A, B, C
- A, C
- kein Punkt
- A, B
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Punktprobe für A
$E : 100 \cdot x_{1} - 13 \cdot x_{2} + 43 \cdot x_{3} = 126$ und $A (1 ∣ 1 ∣ 1)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\begin{array}{rcl} 100 \cdot 1 - 13 \cdot 1 + 43 \cdot 1 & = & 126 \\ 100 - 13 + 43 & = & 126 \\ 130 & = & 126 \end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $A$ liegt also nicht in der Ebene.
Punktprobe für $B$
$E : 100 \cdot x_{1} - 13 \cdot x_{2} + 43 \cdot x_{3} = 126$ und $B (1 ∣ - 2 ∣ 1)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\begin{array}{rcl} 100 \cdot 1 - 13 \cdot (- 2) + 43 \cdot 1 & = & 126 \\ 100 + 26 + 43 & = & 126 \\ 169 & = & 126 \end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $B$ liegt also nicht in der Ebene.
Punktprobe für $C$
$E : 100 \cdot x_{1} - 13 \cdot x_{2} + 43 \cdot x_{3} = 126$ und $C (0 ∣ 0 ∣ 3)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\begin{array}{rcl} 100 \cdot 0 - 13 \cdot 0 + 43 \cdot 3 & = & 126 \\ 0 - 0 + 129 & = & 126 \\ 129 & = & 126 \end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $C$ liegt also nicht in der Ebene.
Ergebnis: Kein Punkt liegt in der Ebene $E$ .
Ebene $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array})$ und Punkt $P (4 | 3 | 5)$ .
- Der Punkt liegt nicht in der Ebene.
- Der Punkt liegt in der Ebene.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Führe eine Punktprobe durch:
Setze für $\vec{X}$ den Vektor $\vec{O P}$ ein:
$(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) \Rightarrow (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 4 \end{array}) = r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array})$
Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.
$\begin{array}{rrrrrcrr} (I) : & 3 & = & 2 \cdot r & + & 1 \cdot s \\ (I I) : & 2 & = & 1 \cdot r & + & 1 \cdot s \\ (I I I) : & 4 & = & 1 \cdot r & + & 3 \cdot s \end{array}$
Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.
Rechne z.B. $(I) - (I I) : 1 = r$
Aus Gleichung $(I I)$ folgt: $2 = 1 \cdot 1 + 1 \cdot s \Rightarrow s = 1$
Probe in Gleichung $(I I I) : 4 = 1 + 3 = 4 ✓$
Du hast bei der Lösung des Gleichungssystems die Werte $r = 1$ und $s = 1$ erhalten.
Ergebnis: Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. der Punkt $P$ liegt in der Ebene $E$ .
Ebene $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array})$ und Punkt $P (1 | - 3 | 1)$ .
- Der Punkt liegt nicht in der Ebene.
- Der Punkt liegt in der Ebene.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Führe eine Punktprobe durch:
Setze für $\vec{X}$ den Vektor $\vec{O P}$ ein:
$(\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) \Rightarrow (\begin{array}{c} 0 \\ - 4 \\ 0 \end{array}) = r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array})$
Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.
$\begin{array}{rrrrrcrr} (I) : & 0 & = & 2 \cdot r & + & 1 \cdot s \\ (I I) : & - 4 & = & 1 \cdot r & + & 1 \cdot s \\ (I I I) : & 0 & = & 1 \cdot r & + & 3 \cdot s \end{array}$
Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.
Rechne z.B. $(I) - (I I) : 4 = r$
Aus Gleichung $(I I)$ folgt: $- 4 = 1 \cdot 4 + 1 \cdot s \Rightarrow s = - 8$
Probe in Gleichung $(I I I) : 0 = 4 + 3 \cdot (- 8) = - 20 \Rightarrow 0 \neq - 20$
Das Gleichungssystem hat keine Lösung.
Ergebnis: Der Punkt $P$ liegt nicht in der Ebene $E$ .

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

Aufgaben zur Lage von Punkten

Punktprobe für A

Punktprobe für B

Punktprobe für C

Punktprobe für A

Punktprobe für B

Punktprobe für C

Punktprobe für A

Punktprobe für B

Punktprobe für C

Punktprobe für A

Punktprobe für B

Punktprobe für C

Punktprobe für A

Punktprobe für B

Punktprobe für C

Punktprobe für A

Punktprobe für B

Punktprobe für C

Punktprobe für A

Punktprobe für B

Punktprobe für C

Punktprobe für A

Punktprobe für B

Punktprobe für C

Punktprobe für $A$

Punktprobe für $B$

Punktprobe für $C$

Punktprobe für $B$

Punktprobe für $C$

Punktprobe für $A$

Punktprobe für $B$

Punktprobe für $C$

Punktprobe für $B$

Punktprobe für $C$

Punktprobe für $B$

Punktprobe für $C$

Punktprobe für $B$

Punktprobe für $C$

Punktprobe für $B$

Punktprobe für $C$

Punktprobe für $B$

Punktprobe für $C$