Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 1

Gegeben ist die Kugel mit Mittelpunkt M(1|4|0) und Radius 6.

(3 BE)

Bestimmen Sie alle Werte $p \in ℝ$ , für die der Punkt P(5|1|p) auf der Kugel liegt.

(2 BE)

Die Gerade g berührt die Kugel im Punkt B(-3|8|2). Ermitteln Sie eine mögliche Gleichung von g.

Lösung Teilaufgabe a)

Du hast zwei Möglichkeiten zur Lösung der Aufgabe:

Ein Punkt $P$ liegt genau dann auf einer vorgegebenen Kugel, wenn sein Abstand zum Mittelpunkt gleich dem Radius ist. Wenn du diese Bedingung verwendest, brauchst du keine Kugelgleichung.
Du kannst aber als alternative Lösung auch erst die Kugelgleichung aufstellen und in diese die Koordinaten von $P$ einsetzen.

Lösung mit Hilfe der Abstandsbedingung

Der Punkt $P (5 | 1 | p)$ liegt genau dann auf der Kugel mit dem Mittelpunkt $M (1 | 4 | 0)$ und Radius $6$ , wenn der Abstand $d (P; M)$ von $P$ zu $M$ gleich dem Radius $6$ ist.

Den Abstand $d (P; M)$ der beiden Punkte berechnest du als den Betrag des Verbindungsvektors beider Punkte:

$d (P; M) = | \vec{P M} |$

Bestimme den Verbindungsvektor $\vec{P M}$ als Differenzvektor der beiden Ortsvektoren $\vec{M}$ minus $\vec{P}$ .

$\vec{P M}$	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ p \end{array})$
	$=$	$(\begin{array}{c} - 4 \\ 3 \\ - p \end{array})$
	↓	Verwende die Formel für den Betrag eines Vektors.
$\| \vec{P M} \|$	$=$	$\| (\begin{array}{c} - 4 \\ 3 \\ - p \end{array}) \|$
	$=$	$\sqrt{(- 4)^{2} + 3^{2} + (- p)^{2}}$
	$=$	$\sqrt{25 + p^{2}}$

Setze $| \vec{P M} | = 6$ und löse die Gleichung nach $p$ auf.

$\begin{array}{rcrl} \sqrt{25 + p^{2}} & = & 6 & |^{2} \\ 25 + p^{2} & = & 36 & | - 25 \\ p^{2} & = & 11 & | \sqrt{} \\ p_{1} & = & \sqrt{11} \\ p_{2} & = & - \sqrt{11} \end{array}$

Es gibt zwei gesuchte Punkte auf der Kugel: $P_{1} (5 | 1 | \sqrt{11})$ und $P_{2} (5 | 1 | - \sqrt{11})$ .

Lösung Teilaufgabe b)

Vorüberlegungen zur Lösung

Hier findest du eine nicht gerade alltägliche Aufgabenstellung:

Die Formulierung "Ermitteln Sie eine mögliche Gerade $g$ " lässt vermuten, dass die Aufgabe nicht nur eine Lösung hat. Mit anderen Worten: Es gibt möglicherweise mehrere Geraden, die der Aufgabenstellung entsprechen.

Du wirst also eine "Auswahl" haben und eine solche treffen müssen. (Mathematisch sagt man dazu auch: Die Aufgabe enthält einen oder gar mehrere "Freiheitsgrade".)

Anschaulich kannst du dir überlegen:

Wenn eine Gerade eine Kugel in einem Kugelpunkt berührt, dann liegt sie in der Tangentialebene dieses Punktes. Und es gilt umgekehrt: Jede Gerade in der Tangentialebene, die durch diesen Punkt verläuft, berührt die Kugel.

In der nebenstehenden Skizze erkennst du, dass alle vier Geraden $g_{1}$ bis $g_{4}$ Lösungen der Aufgabe sind.

Die einzige Bedingung, die eine Gerade $g : \vec{x} = \vec{b} + λ \cdot \vec{u}$ erfüllen muss, damit sie die Kugel $K$ mit dem Mittelpunkt $M$ im Punkt $B \in K$ berührt, ist, dass der Richtungsvektor $\vec{u}$ auf dem Vektor $\vec{B M}$ senkrecht steht. D.h. dass gilt: $\vec{u} \circ \vec{B M} = 0$ .

Durchführung der Vorüberlegungen

Überprüfe zunächst, ob der Punkt $B (- 3 | 8 | 2)$ tatsächlich ein Punkt der Kugel ist:

Tatsächlich gilt: $| \vec{B M} | = \sqrt{(1 + 3)^{2} + (4 - 8)^{2} + (- 2)^{2}} = \sqrt{36} = 6$

und somit ist $B \in K$ .

Erstelle die Parametergleichung einer Geraden $g$ durch den Punkt $B (- 3 | 8 | 2)$ mit einem beliebigen Richtungsvektor $\vec{u} = (\begin{array}{c} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{array})$ .

Anmerkung:

$u_{1}; u_{2}; u_{3}$ können beliebige reelle Zahlen sein. Nur nicht alle drei gleichzeitig $0$ , d.h. es gilt: $u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2} \neq 0$ . $\vec{u}$ wäre dann ja der Nullvektor und dieser ist kein Richtungsvektor.

$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 8 \\ 2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{array})$

Bilde das Skalarprodukt von $\vec{u}$ mit $\vec{B M}$ und setze es gleich Null.

$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} 1 - (- 3) \\ 4 - 8 \\ 0 - 2 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{array}) & = & 0 \\ (\begin{array}{c} 4 \\ - 4 \\ - 2 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{array}) & = & 0 \\ 4 u_{1} - 4 u_{2} - 2 u_{3} & = & 0 \end{array}$

In dieser Gleichung (3 Unbekannte!) gibst du dir für zwei der drei Größen beliebige Werte vor (Du hast also zwei "Freiheitsgrade"!).Z.B.: $u_{1} = 0$ und $u_{2} = 1$ und berechnest $u_{3}$ .

$\begin{array}{rcl} 4 \cdot 0 - 4 \cdot 1 - 2 u_{3} & = & 0 \\ \Rightarrow u_{3} & = & - 2 \end{array}$

Gib die gefundene Gerade $g$ an:

Eine der möglichen Geraden, die die Kugel im Punkt $B (- 3 | 8 | 2)$ berührt, hat die Gleichung $\vec{x} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 8 \\ 2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 2 \end{array}); λ \in ℝ$ .

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org