Aufgaben zur Berechnung von Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$-Werte, für die $f(x)=0$ wird.

$f(x)=x^4-6x^2+8$

Man wollte mithilfe der Substitution und des Satzes von Vieta die Nullstellen von $f(x)$ bestimmen.

Dabei wurde sowohl die Substitution als auch der Satz von Vieta richtig angewandt.

Die angegebenen Nullstellen $2$ und $4$ sind allerdings nicht die Nullstellen von $f(x)$, sondern die Nullstellen der substituierten Funktion $f(u)=u^2-6u+8$.

Grund: Es wurde nicht resubstituiert. Da nämlich $x^2=u$ gilt, muss für die Lösung der Nullstellen noch die Wurzel aus $2$ und $4$ gezogen werden.

Somit hat $f(x)$ eigentlich die vier Nullstellen:

$x_{\mathrm{1,2}}=\pm \sqrt{2}$

$x_{\mathrm{3,4}}=\pm \sqrt{4}=\pm 2$

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$-Werte, für die $f(x)=0$ wird.

Man wollte mithilfe der Substitution und der Mitternachtsformel die Nullstellen von $g(x)$ bestimmen.

Dabei wurde sowohl die Substitution als auch die Mitternachtsformel richtig angewandt.

Jedoch sind die angegebenen Nullstellen zu wenige.

Grund: Bei der Resubstitution werden $s_1$ sowie $s_2$ radiziert. Dabei kann die Lösung sowohl negativ als auch positiv sein.

Somit hat $g(x)$ eigentlich die vier Nullstellen:

$x_{\mathrm{1,2}}=\pm \sqrt{9}=\pm 3$

$x_{\mathrm{3,4}}=\pm \sqrt{3}$