Mathe Funktionen Kurvendiskussion Nullstellen Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen mittels Substitution

Aufgaben zur Berechnung von Nullstellen

Berechne die Nullstellen folgender Funktionen.

$f (x) = \frac{1}{4} x^{5} - 3 x^{3} + 8 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$f (x)$	$=$	$\frac{1}{4} x^{5} - 3 x^{3} + 8 x$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$0$	$=$	$\frac{1}{4} x^{5} - 3 x^{3} + 8 x$
	↓	$ x$ ausklammern.
	$=$	$x \cdot (\frac{1}{4} x^{4} - 3 x^{2} + 8)$
$x_{1}$	$=$	$0$
$(\frac{1}{4} x^{4} - 3 x^{2} + 8)$	$=$	$0$
	↓	Klammer 0 setzen.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.

$\frac{1}{4} x^{4} - 3 x^{2} + 8$	$=$	$0$
	↓	$x 2$ wird durch uuu ersetzt.
$\frac{1}{4} u^{2} - 3 u + 8$	$=$	$0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$u_{1,2}$	$=$	$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot 8}}{2 \cdot \frac{1}{4}}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{0,5}$
	↓	Unter der Wurzel subtrahieren.
	$=$	$\frac{3 \pm \sqrt{1}}{0,5}$
	↓	Wurzel ziehen.

$u_{1} = 8$

Fall 1: $+$

$u_{2} = 4$

Fall 2: $-$

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

$x_{2,3}^{2}$	$=$	$u_{1}$
$u_{1}$	$=$	$8$
	↓	Radizieren.
$x_{2,3}$	$=$	$\pm \sqrt{8}$
	$=$	$\pm 2 \sqrt{2}$
$x_{4,5}^{2}$	$=$	$u_{2}$
$u_{2}$	$=$	$4$
	↓	Radizieren.
$x_{4,5}$	$=$	$\pm \sqrt{4}$
	$=$	$\pm 2$

Die Funktion $f (x)$ hat fünf Nullstellen bei $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 2 \sqrt{2}$ , $x_{3} = - 2 \sqrt{2}$ , $x_{4} = 2$ , $x_{5} = - 2$ .

$g (x) = x^{7} - 7 x^{4} - 8 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$g (x)$	$=$	$x^{7} - 7 x^{4} - 8 x$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$0$	$=$	$x^{7} - 7 x^{4} - 8 x$
	↓	$ x$ ausklammern.
	$=$	$x \cdot (x^{6} - 7 x^{3} - 8)$
$x_{1}$	$=$	$0$
$(x^{6} - 7 x^{3} - 8)$	$=$	$0$
	↓	Klammer 0 setzen.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.

$x^{6} - 7 x^{3} - 8$	$=$	$0$
	↓	$ x 3$ wird durch $u$ ersetzt.
$u^{2} - 7 u$	$=$	$0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$u_{1,2}$	$=$	$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\frac{7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel addieren.
	$=$	$\frac{7 \pm \sqrt{81}}{2}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\frac{7 \pm 9}{2}$

$u_{1} = 8$

Fall 1: $+$

$u_{2} = - 1$

Fall 2: $-$

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

$x_{2}^{3}$	$=$	$u_{1}$
	↓	Dritte Wurzel ziehen.
$u_{1}$	$=$	$8$
$x_{2}$	$=$	$\sqrt[3]{8}$
$\sqrt[3]{8}$	$=$	$2$
$x_{3}^{3}$	$=$	$u_{2}$
	↓	Dritte Wurzel ziehen.
$u_{2}$	$=$	$- 1$
$x_{3}$	$=$	$- \sqrt[3]{1}$
$- \sqrt[3]{1}$	$=$	$- 1$

Die Funktion $g (x)$ hat drei Nullstellen bei $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 2$ , $x_{3} = - 1$ .

$h (u) = u^{5} - 13 u^{3} + 36 u$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$h (u)$	$=$	$u^{5} - 13 u^{3} + 36 u$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$0$	$=$	$u^{5} - 13 u^{3} + 36 u$
	↓	$u$ ausklammern.
	$=$	$u \cdot (u^{4} - 13 u^{2} + 36)$
$u_{1}$	$=$	$0$
$(u^{4} - 13 u^{2} + 36)$	$=$	$0$
	↓	Klammer 0 setzen.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.

$u^{4} - 13 u^{2} + 36$	$=$	$0$
	↓	$u^{2}$ wird durch $x$ ersetzt.
$x^{2} - 13 x + 36$	$=$	$0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\frac{13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel subtrahieren.
	$=$	$\frac{13 \pm \sqrt{25}}{2}$
	↓	Wurzel ziehen.

$x_{1} = 9$

Fall 1: $+$

$x_{2} = 4$

Fall 2: $-$

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

$u_{2,3}^{2}$	$=$	$x_{1}$
	↓	Radizieren.
$x_{1}$	$=$	$9$
$u_{2,3}$	$=$	$\pm \sqrt{9}$
$\pm \sqrt{9}$	$=$	$\pm 3$
$u_{4,5}^{2}$	$=$	$x_{2}$
	↓	Radizieren.
$x_{2}$	$=$	$4$
$u_{4,5}$	$=$	$\pm \sqrt{4}$
$\pm \sqrt{4}$	$=$	$\pm 2$

Die Funktion $h (u)$ hat fünf Nullstellen bei $u_{1} = 0$ , $u_{2} = 3$ , $u_{3} = - 3$ , $u_{4} = 2$ , $u_{5} = - 2$ .

$k (z) = 2 z^{7} + 14 z^{4} - 16 z$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$k (z)$	$=$	$2 z^{7} + 14 z^{4} - 16 z$
	↓	Setze die Funktion gleich 0.
$0$	$=$	$2 z^{7} + 14 z^{4} - 16 z$
	↓	$z$ ausklammern.
	$=$	$z \cdot (2 z^{6} + 14 z^{3} - 16)$
$z_{1}$	$=$	$0$
$(2 z^{6} - 14 z^{3} - 16)$	$=$	$0$
	↓	Klammer 0 setzen.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^{2}$ ) durch einen neuen Term (z.B. $u$ ) ersetzt.

$2 z^{6} - 14 z^{3} - 16$	$=$	$0$
	↓	$z 3$ wird durch $u$ ersetzt.
$2 u^{2} + 14 u - 16$	$=$	$0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$u_{1,2}$	$=$	$\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 2}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\frac{- 14 \pm \sqrt{196 + 128}}{4}$
	↓	Unter der Wurzel addieren.
	$=$	$\frac{- 14 \pm \sqrt{324}}{4}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\frac{- 14 \pm 18}{4}$

$u_{1} = 1$

Fall 1: $+$

$u_{2} = - 8$

Fall 2: $-$

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

$z_{2}^{3}$	$=$	$u_{1}$
	↓	Dritte Wurzel ziehen.
$u_{1}$	$=$	$1$
$z_{2}$	$=$	$\sqrt[3]{1}$
$\sqrt[3]{1}$	$=$	$1$
$z_{3}^{3}$	$=$	$u_{2}$
$u_{2}$	$=$	$- 8$
	↓	Dritte Wurzel ziehen.
$z_{3}$	$=$	$- \sqrt[3]{8}$
$- \sqrt[3]{8}$	$=$	$- 2$

Die Funktion $k (z)$ hat drei Nullstellen bei $z_{1} = 0$ , $z_{2} = 1$ , $z_{3} = - 2$ .

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