Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen mittels Substitution

Das Substitutionsverfahren wird verwendet, wenn die Funktion folgende Form hat:Der eine Exponent muss also doppelt so groß sein wie der andere Exponent.

Richtige Antwortmöglichkeiten

Die Funktionen dieser Aufgabe, bei denen du das Substitutionsverfahren anwenden kannst, sind $g(x)$ und $l(x)$.

• Bei $g(x)=2x^4-4x^2-24$ hast du die Exponenten $4$ und $2$. Da $4$ das Doppelte von $2$ ist, kannst du folgende Substitution machen:

  $g(x)=2x^4-4x^2-24=2{(x^2)}^2-4x^2-24$

  Setze $u=x^2$,

  dann folgt $g(u)=2u^2-4u-24$.

• Bei $l(x)=3x^8+3x^4-6$ hast du die Exponenten $8$ und $4$. Da $8$ das Doppelte von $4$ ist, kannst du folgende Substitution machen:

  $l(x)=3x^8+3x^4-6=3{(x^4)}^2+3x^4-6$

  Setze $u=x^4$,

  dann folgt $l(u)=3u^2+3u-6$.

Falsche Antwortmöglickeiten

Die Funktionen dieser Aufgabe, bei denen du das Substitutionsverfahren nicht anwenden kannst, sind $f(x)$, $h(x)$ und $k(x)$.

• Bei $f(x)=4x^3+2x+1$ hast du die Exponenten $3$ und $1$. (Die $1$ kommt von $2x=2x^1$.) Da $3$ nicht das Doppelte von $1$ ist, kannst du die Substitution hier nicht benutzen.

• Bei $h(x)=4x^8-4x^6+1$ hast du die Exponenten $8$ und $6$. Da $8$ nicht das Doppelte von $6$ ist, kannst du die Substitution hier nicht anwenden.

• Bei $k(x)=x^4+2x^3-3x^2+x-7$ kannst du die Substitution auch nicht anwenden, da die Exponenten jeweils um $1$ größer werden und sich somit nicht immer verdoppeln.

Zusammenfassung

Insgesamt kannst du also bei $g(x)$ und $l(x)$ die Substitution anwenden und bei $f(x)$, $h(x)$ und $l(x)$ nicht.

Das Substitutionsverfahren wird verwendet, wenn die Funktion folgende Form hat:Der eine Exponent muss also doppelt so groß sein wie der andere Exponent.

Richtige Antwortmöglichkeiten

Die Funktionen dieser Aufgabe, bei denen du das Substitutionsverfahren anwenden kannst, sind $f(z)$, $g(a)$ und $k(u)$.

• Bei $f(z)=z{}^4+z{}^2-12$ hast du die Exponenten $4$ und $2$. Da $4$ das Doppelte von $2$ ist, kannst du folgende Substitution machen:

  $f(z)=z^4+z^2-12={(z^2)}^2+z^2-12$

  Setze $u=z^2$,

  dann folgt $f(u)=u^2+u-12$.

• Bei $g(a)=a^{10}-a^5+1$ hast du die Exponenten $10$ und $5$. Da $10$ das Doppelte von $5$ ist, kannst du folgende Substitution machen:

  $g(a)=a^{10}-a^5+1={(a^5)}^2-a^5+1$

  Setze $u=a^5$,

  dann folgt $g(u)=u^2-u+1$.

• Bei $k(u)=\frac{1}{4}{u}^6-\frac{1}{2}{u}^3+4$ hast du die Exponenten $6$ und $3$. Da $6$ das Doppelte von $3$ ist, kannst du folgende Substitution machen:

  $k(u)=\frac{1}{4}{u}^6-\frac{1}{2}{u}^3+4=\frac{1}{4}{(u^3)}^2-\frac{1}{2}{u}^3+4$

  Setze $x=u^3$,

  dann folgt $k(x)=\frac{1}{4}{x}^2-\frac{1}{2}x+4$.

Falsche Antwortmöglickeiten

Die Funktionen dieser Aufgabe, bei denen du das Substitutionsverfahren nicht anwenden kannst, sind $h(x)$ und $l(s)$.

• Bei $h(x)=4x^5-2x{}^3+1$ hast du die Exponenten $5$ und $3$. Da $5$ nicht das Doppelte von $3$ ist, kannst du die Substitution hier nicht benutzen.

• Bei $l(s)=s^4+3s^3+3$ hast du die Exponenten $4$ und $3$. Da $4$ nicht das Doppelte von $3$ ist, kannst du die Substitution hier nicht anwenden.

Zusammenfassung

Insgesamt kannst du also bei $f(z)$, $g(a)$ und $k(u)$ die Substitution anwenden und bei $h(x)$ und $l(s)$ nicht.