Komplexere Anwendungsaufgaben mit Extremwertproblemen

Die Aufgabe verlangt die Lösung einer quadratischen Ungleichung.

Für das Volumen $V$ eines quaderförmigen Päckchens mit den Seiten $l,b,h$ gilt:

Da gilt $V=21d{m}^3=21000c{m}^3$ und $l=35cm$ ergibt sich:

$35\cdot b\cdot h=21000$.

Somit gilt:

$b\cdot h=600$

Also:

$${\displaystyle h=\frac{600}{b}}$$.

Betrachtet man die Größe $b$ als unabhängige und $h$ als abhängige Variable, so ist der Zusammenhang der beiden Päckchenseiten $b$ und $h$ der einer gebrochenrationale Funktion.

Der Definitionsbereich dieser Funktion - d.h. welche Werte für $b$ in Frage kommen - bestimmt sich nun durch die Größenbegrenzungen in den Tarifbestimmungen der Post.

Mit der vorgegebenen Seitenlänge $l=35\mathrm{cm}$ ergibt sich für die zulässige Summe der drei Päckchenmaße die Ungleichung:

Setzt man $h$ in die Volumengleichung $21000=35\cdot b\cdot h$ ein, so ergibt sich die Ungleichung

$21000\le 35b(55-b)$

So löst man die sich ergebende quadratische Ungleichung:

Löse die Gleichung mit der Mitternachtsformel:

Damit ist die gesuchte Lösungsmenge der $\text{Ungleichung}$ $b^2-55b+600\le 0$ das Intervall $[15;40]$ zwischen den beiden Nullstellen, da der quadratische Term eine nach oben geöffnete Parabel ergibt.

Im nachfolgenden Applet kannst du durch Verschieben des Gleitpunktes $P$ an dessen Koordinaten die Breiten- und Höhenwerte aller in Frage kommenden Päckchen mit dem Volumen $21d{m}^3$ ablesen.

Keine Seite der Päckchen überschreitet dabei die zusätzliche Begrenzung von $60cm$.

Bei dieser Teilaufgabe handelt es sich um eine Extremwertbestimmung mit der Zielfunktion des Volumens eines Quaders.

Zielfunktion

$V(l;b;h)=l\cdot b\cdot h$

wenn $l$, $b$ und $h$ die Maße für Länge, Breite und Höhe der Päckchen sind.

Nebenbedingungen sind:

1. $l=35cm$

2. Der maximale Wert der Summe aus Länge, Breite und Höhe beträgt $90cm$.

   Also: $l+b+h=90cm$.

   Somit :

   $\begin{array}{rl}b+h& =55cm\\ h& =55cm-b\end{array}$

Damit ergibt sich durch Einsetzen von $l$ und $h$ in $V(l,b,h)$:

bzw.

Interpretation der Zielfunktion:

V ist eine ganzrationale Funktion 2. Grades mit negativem Leitkoeffizienten. Ihr Graph demnach eine nach unten geöffnete Parabel. Die Nullstelle von $V^{\prime }$ ergibt somit ein absolutes Maximum von $V$.

Gemäß den Tarifbestimmungen git für den Definitionsbereich von $V$:${𝔻}_V=[1;60]$

$V^{\prime }(b)=-70b+1925\text{Setze V’(b)=0}$:

$\Rightarrow V_{max}=-35\cdot {\mathrm{27,5}}^2+1925\cdot \mathrm{27,5}=\mathrm{26468,75}$

Ergebnis:

Bei einer vorgegebenen Seitenlänge von $35cm$ kann bei DHL im Tarif Päckchen international ein quaderförmiges Päckchen bis zu einem Volumen von rund $\mathrm{26,4}d{m}^3$ versandt werden.

$l$ mit $1cm\le l\le 60cm$ sei die vorgegebene Seitenlänge.

Zielfunktion

$V(b;h)=l\cdot b\cdot h$

Nebenbedingung

$\begin{array}{rcll}l+b+h& =& 90& |-l\\ b+h& =& 90-l& |-b\\ h& =& 90-l-b& \end{array}$

$h$ in $V(b;h)$ einsetzen:

$V(b)=l\cdot b\cdot (90-l-b)$

bzw.

$V(b)=-l\cdot b^2+l(90-l)b$

Interpretation der Zielfunktion:

$V$ mit ${𝔻}_V=[1;60]$ ist eine ganzrationale Funktion 2. Grades mit negativem Leitkoeffizienten. Ihr Graph ist demnach eine nach unten geöffnete Parabel. Die Nullstelle von $V^{\prime }$ ergibt somit ein maximales Volumen.

$V^{\prime }(b)=-2l\cdot b+l(90-l)\text{Setze V’(b) gleich Null}.$

$b_{max}$ in die 2. Nebenbedingung eingesetzt ergibt:

$$h_{max}=90-l-{\displaystyle \frac{90-l}{2}}$$

$$h_{max}={\displaystyle \frac{90-l}{2}\Rightarrow b_{max}=h_{max}}$$

Ergebnis

Bei einer beliebig vorgegebenen zulässigen Päckchenseite sind beim zugehörigen volumenmäßig größten Päckchen die beiden anderen Seiten gleich lang. Das heißt, dieses Päckchen hat einen quadratischen Querschnitt.

Aus der Teilaufgabe c) ergibt sich für volumenmäßig größte Päckchen in Abhängigkeit der gegebene Seitenlänge $l$:

$V(l)=-l\cdot b^2+l(90-l)b$mit$$b={\displaystyle \frac{90-l}{2}}$$

$b$ eingesetzt ergibt die gesuchte Funktion:

$$V(l)=-l\cdot {\displaystyle {\left(\frac{90-l}{2}\right)}^2+l(90-l)\cdot \frac{90-l}{2}}$$

$$V(l)=-{\displaystyle \frac{l(90-l{)}^2}{4}+\frac{l(90-l{)}^2}{2}}$$

$$V(l)={\displaystyle \frac{1}{4}\cdot l(90-l{)}^2{𝔻}_V=[1;60]}$$

Interpretation des Ergebnisses

Die volumengrößten Päckchen, die sich bei Vorgabe einer Päckchenseite ergeben, folgen einer ganzrationalen Funktion 3. Grades.

Deren Maximum ergibt sich für $l=30$ mit $V=27000c{m}^3$.

Für dieses Päckchen erhält man $b=h=30cm$. Somit einen Würfel.

Die nachfolgende Zeichnung fasst die Ergebnisse zusammen.