Aufgaben zum Parallelogramm

Für diese Aufgabe benötigst du - je nach Lösungsweg - Grundwissen über die Determinante oder über das Kreuzprodukt.

$A(1|\mathrm{1,5});B(4|-1);C(5|\mathrm{2,5})$

Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem ein, um einen Überblick zu erhalten. Es ist nicht nötig, das Parallelogramm aus den angegeben Punkt zu konstruieren, da es nur zwei Vektoren benötigt, um die Fläche zu berechnen. Wähle eine Ecke, von der die Vektoren das Parallelogramm aufspannen, und berechne diese Vektoren.

Auch hier ist es egal, welche Ecke man wählt, da die Parallelogrammfläche stets das Doppelte der gewählten Dreiecksfläche ist.

$\overrightarrow{BA}=\left(\begin{array}{c}1-4\\ \mathrm{1,5}-(-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ \mathrm{2,5}\end{array}\right)$

$\overrightarrow{BC}=\left(\begin{array}{c}5-4\\ \mathrm{2,5}-(-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ \mathrm{3,5}\end{array}\right)$

1. Lösungsweg: Flächenberechnung mit Determinante

Bestimme die Reihenfolge der Vektoren in der Determinante gegen den Uhrzeigersinn ( $\mathrm{\alpha }$ ) oder setze um die Determinante einen Betrag.

Wichtig: KEIN $\frac{1}{2}$!

Berechne die Determinante und erhalte dann das Ergebnis. Flächeneinheit dabei nicht vergessen, wenn gefordert.

$\mathrm{A}=\left|\left|\begin{array}{cc}\overrightarrow{\mathrm{BA}}& \overrightarrow{\mathrm{BC}}\end{array}\right|\right|=\left|\begin{array}{cc}\overrightarrow{\mathrm{BC}}& \overrightarrow{\mathrm{BA}}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}1& -3\\ \mathrm{3,5}& \mathrm{2,5}\end{array}\right|=\mathrm{2,5}+\mathrm{10,5}=13FE$

2. Lösungsweg: Flächenberechnung mit Kreuzprodukt

Bette die Zeichenebene in den ${ℝ}^3$ ein. Dies geschieht, indem jedem Vektor als dritte Komponente der Eintrag $0$ hinzugefügt wird.

Berechne nun das Kreuzprodukt $\overrightarrow{BA}\times \overrightarrow{BC}$. Das Ergebnis ist ein zu $\overrightarrow{BA}$ und $\overrightarrow{BC}$ orthogonaler Vektor, dessen Betrag dem Flächeninhalt des von $\overrightarrow{BA}$ und $\overrightarrow{BC}$ aufgespannten Parallelogramms entspricht.