Aufgaben zur Berechnung von Determinanten

Berechne die Determinante mit dem Laplace´schen Entwicklungssatz.

$A = (\begin{array}{cccc} 1 & 4 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinanten berechnen
$\det A = | \begin{array}{cccc} 1 & 4 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{array} |$
Wähle die erste Spalte aus und berechne über diese mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz die neuen 3x3 Matrizen.
$= 1 | \begin{array}{ccc} 1 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{array} | - 2 | \begin{array}{ccc} 4 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{ccc} 4 & 3 & 2 \\ 1 & 4 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{array} | - 4 | \begin{array}{ccc} 4 & 3 & 2 \\ 1 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \end{array} |$
Wähle bei jeder dieser neuen 3x3 Matrizen die erste Spalte aus und Entwickle wieder neue 2x2 Matrizen aus jeder Matrix.
$\begin{array}{l} = 1 (1 | \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{array} | - 2 | \begin{array}{cc} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{cc} 4 & 3 \\ 1 & 4 \end{array} |) - 2 (4 | \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{array} | - 2 | \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{array} |) \\ + 3 (4 | \begin{array}{cc} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |) - 4 (4 | \begin{array}{cc} 4 & 3 \\ 1 & 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{array} | + 2 | \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |) \end{array}$
Berechne nun die 2x2 Matrizen und berechne bis zum Endergebniss.
$\begin{array}{l} = (1 - 8) - 2 (4 - 6) + 3 (16 - 3) - 8 (1 - 8) + 4 (3 - 4) - 6 (12 - 2) \\ + 12 (4 - 6) - 3 (3 - 4) + 9 (9 - 8) - 16 (16 - 3) + 4 (12 - 2) - 8 (9 - 8) \\ = - 7 + 4 + 39 + 56 - 4 - 60 - 24 + 3 + 9 - 208 + 40 - 8 \\ = - 160 \end{array}$
$B = (\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 0 & 6 \\ 7 & 0 & 8 & 9 \\ 2 & 4 & 6 & 0 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinanten berechnen
$B = (\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 0 & 6 \\ 7 & 0 & 8 & 9 \\ 2 & 4 & 6 & 0 \end{array})$
Wähle die erste Spalte aus und berechne über diese mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz die neuen 3x3 Matrizen. Die neuen Matrizen die mit dem Faktor 0 multipliziert werden, kann man dabei schon weglassen.
$det B = | \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 0 & 6 \\ 7 & 0 & 8 & 9 \\ 2 & 4 & 6 & 0 \end{array} | = - 4 | \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 8 & 9 \\ 4 & 6 & 0 \end{array} | + 7 | \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 5 & 0 & 6 \\ 4 & 6 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 5 & 0 & 6 \\ 0 & 8 & 9 \end{array} |$
Wähle bei jeder dieser neuen 3x3 Mtrizen die erste Spalte aus und entwickle wieder neue 2x2 Matrizen aus jeder Matrix. Auch hier lassen sich die Matrizen mit Vorfaktor 0 wegstreichen.
$= - 4 (1 | \begin{array}{cc} 8 & 9 \\ 6 & 0 \end{array} | + 4 | \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{array} |) + 7 (1 | \begin{array}{cc} 0 & 6 \\ 6 & 0 \end{array} | - 5 | \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 6 & 0 \end{array} | + 4 | \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 0 & 6 \end{array} |) - 2 (1 | \begin{array}{cc} 0 & 6 \\ 8 & 9 \end{array} | - 5 | \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{array} |)$
Berechne nun die 2x2 Matrizen und berechne bis zum Endergebniss.
$\begin{array}{l} = - 4 (- 54) - 16 (18 - 24) + 7 (- 36) - 35 (- 18) + 28 (12) - 2 (- 48) + 10 (18 - 24) \\ = 216 + 96 - 252 + 630 + 336 + 96 - 60 = 1062 \end{array}$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org