Aufgaben zum Ableiten von Wurzelfunktionen

Bestimme die Ableitung der nachfolgenden Funktionen mithilfe der Kettenregel.

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 1}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel

In dieser Aufgabe sollst du eine verkettete Wurzelfunktion mithilfe der Kettenregel ableiten.

Lösungsvariante 1: Ableiten nach Anwendung der Potenzgesetze

In dieser Lösungsvariante wirst du das Potenzgesetz für allgemeine Brüche im Exponenten nutzen, um die Wurzelfunktion als Potenz zu schreiben. Im Anschluss wirst du sie mit der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen und der Kettenregel ableiten.

$f (x)$	$=$	$\sqrt{x^{2 + 1}}$
	↓	Schreibe die Wurzel als Potenz um.
	$=$	${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Bevor du die Kettenregel anwenden kannst, musst du die innere und die äußere Funktion erkennen:

Äußere Funktion

$u (x)$	$=$	$x^{\frac{1}{2}}$
	↓	Benutze die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$u ´ (x)$	$=$	$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Innere Funktion

$v (x)$	$=$	$x^{2} + 1$
	↓	Benutze die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$v ´ (x)$	$=$	$2 x$

Bilde nun einen Ansatz mit der Kettenregel, um die Ableitung zu bestimmen:

$f ´ (x)$	$=$	$u ´ (v (x)) \cdot v ´ (x)$
	↓	Setze die Funktionen $u^{'}, v$ und $v^{'}$ ein.
	$=$	$\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 x$
	↓	Kürze den Faktor $2$ .
	$=$	${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot x$
	↓	Nutze das Potenzgesetz für negative Exponenten, um den ersten Faktor als Bruch zu schreiben.
	$=$	$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$
	↓	Nutze das Potenzgesetz für allgemeine Brüche im Exponenten und schreibe die Potenz im Nenner als Wurzel um.
	$=$	$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Die Ableitung der Funktion $f (x) = \sqrt{x^{2} + 1}$ ist somit $f^{'} (x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

Lösungsvariante 2: Direkte Anwendung der Ableitungsregel für Wurzelfunktionen

In dieser Lösungsvariante wirst du die Ableitungsregel der Wurzelfunktion direkt mit der Kettenregel kombinieren.

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 1}$

Bevor du die Kettenregel anwenden kannst, musst du die innere und die äußere Funktion erkennen:

Äußere Funktion

$u (x)$	$=$	$\sqrt{x}$
	↓	Benutze die Ableitungsregel für Wurzelfunktionen.
$u ´ (x)$	$=$	$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$
	$=$
	$=$

Innere Funktion

$v (x)$	$=$	$x^{2} + 1$
	↓	Benutze die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$v ´ (x)$	$=$	$2 x$

Bilde nun einen Ansatz mit der Kettenregel, um die Ableitung zu bestimmen:

$f ´ (x)$	$=$	$u ´ (v (x)) \cdot v ´ (x)$
	↓	Setze die Funktionen $u^{'}, v$ und $v^{'}$ ein.
	$=$	$\frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + 1}} \cdot 2 x$
	↓	Ziehe den hinteren Faktor in den Zähler.
	$=$	$\frac{2 x}{2 \sqrt{x^{2} + 1}}$
	↓	Kürze den Faktor $2$ .
	$=$	$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Die Ableitung der Funktion $f (x) = \sqrt{x^{2} + 1}$ ist somit $f^{'} (x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$g (s) = \sqrt{- 5 s^{2} + 4 s}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel

In dieser Aufgabe sollst du eine verkettete Wurzelfunktion mithilfe der Kettenregel ableiten.

Lösungsvariante 1: Ableiten nach Anwendung der Potenzgesetze

$g (s)$	$=$	$\sqrt{- 5 s^{2} + 4 s}$
	↓	Schreibe die Wurzel als Potenz um.
	$=$	${(- 5 s^{2} + 4 s)}^{\frac{1}{2}}$

Bevor du die Kettenregel anwenden kannst, musst du die innere und die äußere Funktion erkennen:

Äußere Funktion

$u (s)$	$=$	$s^{\frac{1}{2}}$
	↓	Benutze die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$u ´ (s)$	$=$	$\frac{1}{2} s^{- \frac{1}{2}}$

Innere Funktion

$v (s)$	$=$	$- 5 s^{2} + 4 s$
	↓	Benutze die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$v ´ (s)$	$=$	$- 10 s + 4$

Bilde nun einen Ansatz mit der Kettenregel, um die Ableitung zu bestimmen:

$g ´ (s)$	$=$	$u ´ (v (s)) \cdot v ´ (s)$
	↓	Setze die Funktionen $u^{'}, v$ und $v^{'}$ ein.
	$=$	$\frac{1}{2} {(- 5 s^{2} + 4 s)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 10 s + 4)$
	↓	Nutze das Potenzgesetz für negative Exponenten, um den mittleren Faktor als Bruch zu schreiben.
	$=$	$\frac{1}{2 {(- 5 s^{2} + 4 s)}^{- \frac{1}{2}}} \cdot (- 10 s + 4)$
	↓	Ziehe den zweiten Faktor in den Zähler.
	$=$	$\frac{- 10 s + 4}{2 {(- 5 s^{2} + 4 s)}^{- \frac{1}{2}}}$
	↓	Nutze das Potenzgesetz für allgemeine Brüche im Exponenten und schreibe die Potenz im Nenner als Wurzel um.
	$=$	$\frac{- 10 s + 4}{2 \sqrt{(- 5 s + 4 s)}}$
	↓	Klammere den gemeinsamen Faktor $2$ im Zähler aus.
	$=$	$\frac{2 (- 5 s + 2)}{2 \sqrt{(- 5 s^{2} + 4 s)}}$
	↓	Kürze den Faktor $2$ .
	$=$	$\frac{- 5 s + 2}{\sqrt{- 5 s^{2} + 4 s}}$

Die Ableitung der Funktion $g (s) = \sqrt{- 5 s^{2} + 4 s}$ ist somit $g^{'} (s) = \frac{- 5 s + 2}{\sqrt{- 5 s^{2} + 4 s}}$ .

Lösungsvariante 2: Direkte Anwendung der Ableitungsregel für Wurzelfunktionen

In dieser Lösungsvariante wirst du die Ableitungsregel der Wurzelfunktion direkt mit der Kettenregel kombinieren.

$g (s) = \sqrt{- 5 s^{2} + 4 s}$

Bevor du die Kettenregel anwenden kannst, musst du die innere und die äußere Funktion erkennen:

Äußere Funktion

$u (s)$	$=$	$\sqrt{s}$
	↓	Benutze die Ableitungsregel für Wurzelfunktionen.
$u ´ (s)$	$=$	$\frac{1}{2 \sqrt{s}}$

Innere Funktion

$v (s)$	$=$	$- 5 s^{2} + 4 s$
	↓	Benutze die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$v ´ (s)$	$=$	$- 10 s + 4$

Bilde nun einen Ansatz mit der Kettenregel, um die Ableitung zu bestimmen:

$g ´ (s)$	$=$	$u ´ (v (s)) \cdot v ´ (s)$
	↓	Setze die Funktionen $u^{'}, v$ und $v^{'}$ ein.
	$=$	$\frac{1}{2 \sqrt{- 5 s^{2} + 4 s}} \cdot (- 10 s + 4)$
	↓	Ziehe den zweiten Faktor in den Zähler.
	$=$	$\frac{- 10 s + 4}{2 \sqrt{- 5 s^{2} + 4 s}}$
	↓	Klammere den gemeinsamen Faktor 222 im Zähler aus.
	$=$	$\frac{2 (- 5 s + 2)}{2 \sqrt{- 5 s^{2} + 4 s}}$
	↓	Kürze den Faktor $2$ .
	$=$	$\frac{- 5 s + 2}{\sqrt{- 5 s^{2} + 4 s}}$

Die Ableitung der Funktion $g (s) = \sqrt{- 5 s^{2} + 4 s}$ ist somit $g^{'} (s) = \frac{- 5 s + 2}{\sqrt{- 5 s^{2} + 4 s}}$ .

$h (t) = \sqrt[3]{t^{2} - t - 1}$

$k (z) = \frac{- 3}{\sqrt{3 z^{2} + 3}}$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$k (z)$	$=$	$\frac{- 3}{\sqrt{3 z^{2} + 3}}$
	↓	Schreibe die Wurzel im Nenner als Potenz um.
	$=$	$\frac{- 3}{{(3 z^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$
	↓	Nutze das Potenzgesetz für negative Exponenten, um den Nenner umzuformen.
	$=$	$- 3 {(3 z^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

$u (t)$	$=$	$t^{\frac{1}{3}}$
	↓	Benutze die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$u ´ (t)$	$=$	$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}}$

$v (t)$	$=$	$t^{2} - t - 1$
	↓	Benutze die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$v ´ (t)$	$=$	$2 t - 1$

$h ´ (t)$	$=$	$u ´ (v (t)) \cdot v ´ (t)$
	↓	Setze die Funktionen $u^{'}, v$ und $v^{'}$ ein.
	$=$	$\frac{1}{3} {(t^{2} - t - 1)}^{- \frac{2}{3}} \cdot (2 t - 1)$
	↓	Nutze das Potenzgesetz für negative Exponenten, um den mittleren Faktor als Bruch zu schreiben.
	$=$	$\frac{1}{3 {(t^{2} - t - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 t - 1)$
	↓	Ziehe den zweiten Faktor in den Zähler.
	$=$	$\frac{2 t - 1}{3 {(t^{2} - t - 1)}^{\frac{2}{3}}}$
	↓	Nutze das Potenzgesetz für allgemeine Brüche im Exponenten und schreibe die Potenz im Nenner als Wurzel um.
	$=$	$\frac{2 t - 1}{3 \sqrt[3]{{(t^{2} - t - 1)}^{2}}}$

$u (z)$	$=$	$- 3 z^{- \frac{1}{2}}$
	↓	Benutze die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$u ´ (z)$	$=$	$\frac{3}{2} z^{- \frac{2}{3}}$

$v (z)$	$=$	$3 z^{2} + 3$
	↓	Benutze die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$v ´ (z)$	$=$	$6 z$

$k ´ (z)$	$=$	$u ´ (v (z)) \cdot v ´ (z)$
	↓	Setze die Funktionen $u^{'}, v$ und $v^{'}$ ein.
	$=$	$\frac{3}{2} {(3 z^{2} + 3)}^{- \frac{3}{2}} \cdot 6 z$
	↓	Nutze das Potenzgesetz für negative Exponenten, um den mittleren Faktor als Bruch zu schreiben.
	$=$	$\frac{3}{2 {(3 z^{2} + 3)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 6 z$
	↓	Ziehe den zweiten Faktor in den Zähler.
	$=$	$\frac{18 z}{2 {(3 z^{2} + 3)}^{\frac{3}{2}}}$
	↓	Nutze das Potenzgesetz für allgemeine Brüche im Exponenten und schreibe die Potenz im Nenner als Wurzel um.
	$=$	$\frac{18 z}{2 \sqrt{{(3 z^{2} + 3)}^{3}}}$
	↓	Kürze den Faktor $2$ .
	$=$	$\frac{9 z}{\sqrt{{(3 z^{2} + 3)}^{3}}}$